Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Извлечение корней из комплексного числа.

В заключение рассмотрим операцию извлечения корня -ой степени из комплексного числа . По определению, любое число , такое, что , называется корнем -ой степени из числа . Пусть , . Тогда . Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому , , откуда , , при этом различных значения корня -ой степени из числа получаются при .

Итак, если только корень степени из комплекс­ного числа существует, то он может принимать лишь следующие п значений:

Непосредственной проверкой легко установить, используя формулу Муавра, что каждое из этих чисел удовлетворяет соотношению и потому является корнем п-й степени из комплексного числа

Таким образом, каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет ровно п корней п-й сте­пени.

Геометрически все значений корня степени

из комплексного числа изображаются точками, лежащими на окружности с центром в на­чале координат, радиус которой равен Если эти точки соединить последовательно прямолинейными отрезками, то в результате получится правильный п- угольник.

Пример 12. Найдите значение

Решение. Так как то + где k = 0,1,2,3. Получаем 4 корня:

Все точки лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Аргументы соседних то­чек отличаются друг от друга на . Следовательно,эти точки являются вершинами правильного четы­рехугольника, то есть квадрата.

Пример 13. Решите уравнение z³ +1 = 0.

Решение. Найдем значения Так как

то где

k = 0,1,2. Уравнение имеет три корня:

Все точки лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Аргументы соседних точек отличаются друг от друга на Следовательно, эти точки являются вершинами правильного тре­угольника.

Пример: найти все значения . Число в тригонометрической форме равно . Все пять значений корня даются формулой при . Они расположены на окружности радиуса . Значение, соответствующее , имеет аргумент , остальные расположены с интервалом по , равным , в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.