Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Зі сталими коефіцієнтами.

Мета: Формувати вміння розв’язувати лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами.

Рівняння виду у^//+ру^/+qу=0; де р і q – дійсні числа, називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Функція виду у= ^кх є розв’язком розглядуваного рівняння тоді, і тільки тоді, коли число k – корінь квадратного рівняння

k²+ рk+ q=0, що називається характеристичним.

Розв’язки рівняння в залежності від значень коренів k₁ і k₂ характеристичного рівняння мають вид:

1) у= G ^{к х}+c₂ ^{к х}, k₁ і k₂ – дійсні числа, k₁ ≠ k₂, Д> 0;

2) у= (с₁+с₂х) ^кх, k₁ +k₂+ k, Д= 0,

3) у= ^{α х}(с₁cos вх+ с₂ sin вx), k₁= а+в_і, k₂= а–в_і, Д< 0.

Наприклад: Розв’язати задачу Коші:

у^//+4у=0, у()= 1, у^/()= –2

Розв’язання: Характеристичне рівняння k²+ 4= 0,

Д< 0, Д= –16, k₁=2_і; k₂= –2_і; тоді у= с₁cos 2х+ с₂ sin 2x.

За початковими умовами 0·с₁+1·с₂= 1,

–2·1 с₁+2·с₂· 0= –2,

Маємо: с₁= 1, с₂= 1.

Відповідь: у= cos 2х+ sin 2x.

Запитання для самоконтролю:

– Який вид лінійних однорідних диференційних рівнянь ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами?

– Що таке характеристичне рівняння?

– Як залежать розв’язки лінійних однорідних диференційних рівнянь ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами від коренів характеристичного рівняння?

Література: [1 ] гл.8.

Знати: Вид лінійних однорідних диференціальних рівнянь ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами, алгоритм їх розв’язку, загальний розв’язок рівнянь залежно від дискримінанта характеристичного рівняння, зміст задачі Коші.

Вміти: Складати характеристичне рівняння до лінійного однорідного ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами, добирати загальний розв’язок рівнянь залежно від дискримінанта характеристичного рівняння, розв’язувати задачу Коші.

Завдання:

1. Скласти лінійне однорідне диференціальне рівняння ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами, якщо: а) характеристичне рівняння має вид:

0) k²+3k+2=0;

1) 2k²–3k–5=0;

2) k²–1=0

б) відомі корені його характеристичного рівняння

3) k₁=4; k₂= –2;

4) k₁= k₂=–2;

5) k₁= k₂= 5±3_і

в) його розв’язки мають вид:

6) у= с₁ ^-3х + с₂х ^-3х;

7) у= с₁cos 2х +с₂ sin 2x;

8) у= с₁ ^2х+ с₂ ^4х

9) у= ^х(с₁cos х– с₂ sin x)

2. Розв’язати рівняння:

0) у^//–5у^/+6у=0;

1) у^//–2у^/–8у=0;

2) у^//+14у^/+49у=0;

3) у^//+6у^/+25у=0;

4) у^//+8у^/+15у=0;

5) у^//–2у=0;

6) у^//+16у=0;

7) у^//+4у=0;

8) у^//–9у=0;

9) у^//–4у^/+4у=0.вдання:ку зі сталими коефіцієнтами від коренів характеристичного рівняння?

9) ефіцієнтами?

9)

3. Розв’язати задачу Коші:

0) у^//–2у^/=0; у(0)= ; у^/(0)=1;

1) у^//+3у^/+2у=0; у(0)= –1; у^/(0)=3;

2) у^//+4у^/+3у=0; у(0)= 2; у^/(0)=4;

3) у^//+8у^/+16у=0; у(0)= у^/(0)=1;

4) у^//+9у=0; у(0)= 1; у^/(0)=6;

5) у^//+2у^/+5у=0; у(0)= у^/(0)=1;

6) у^//–у=0; у(0)= 2; у^/(0)=1;

7) у^//+4у^/+4у=0; у(0)= 2; у^/(0)=1;

8) у^//–8у^/+20у=0; у(0)= 2; у^/(0)=8;

9) у^//–4у^/+29у=0; у(0)= 1; у^/(0)=7.

б) 1) (1+у)dx–(1–x)dу=0 6) cos x sin уdу= sinу sin xdx

2) (ху²+х) dx=(у–х2у) dу 7) L^x(1+L^у) dx+ L^у(1+ L^x) dу=0

3) х² dу+(у–1)2х=0 8) (ху+x)

4) dу– dx=0 9) (ху+у) dx= хdу

5) 2(ху+у) dx=хdу 10) (ху+у) dx= хdу

2. Розв¢язати задачу Коші:

1) хdу=у dx, у(2) =6, 6) (х–1) dу=(у+1) dx, у(2)=3

2) 3у² dу= х² dх, у(3) =1, 7) уtgxdx+dу=0, у()=4,

3) у^/= хL ^–у, у(1) =0, 8) у^/=2у, у(0) =3,

4) х^/=2+х, х(0)=3, 9) у^/=7у+5, у(0) =0,

5) у^/– =0, у(1) =5, 10) U^/=–3 U^/, U(0) =1.

Ряди.