Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Чёткие множества

Логику, которая имеет дело с 0 и 1, будем называть чёткой логикой, а обычные множества на их основе - чёткими множествами. Как расширение этих понятий можно рассматривать нечёткую логику и нечёткие множества.

Введем обозначение X = { x }. Фигурные скобки означают совокупность объектов. Совокупность Х - это предметная область, полное пространство или вспомогательное множество, x - отдельные структурные элементы. Тот факт, что х является элементом Х, обозначим следующим образом: х ÎХ.

В полном пространстве Х определим чёткое множество. В качестве названий множеств использует прописные буквы А, В, С... Например, пусть полное множество состоит из десяти цифр

Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, (5.1.1)

тогда множество чётных цифр А равно

А = {0, 2, 4, 6, 8}. (5.1.2)

Число структурных элементов назовём мощностью множества или координатным числом и обозначим #. Имеем #X = 10, #A = 5.

Имеется ещё одна форма записи А = { x | x - чётное число больше 0 и меньше 9}. Кроме того, для обозначения понятия в виде рисунка часто используют диаграммы Венна (рис. 5.1).

Рисунок 5.1

Помимо указанных способов определение понятия чёткого множества возможно с помощью характеристической функции. Характеристическая функция c_А, определяющая множество А в полном пространстве Х, представляет собой отображение, для которого Х есть область определения, а {0, 1} (двузначное множество из 0 и 1) есть область значений:

c_А:Х®{0,1}

Î Î ì0, x Ï A, (5.1.3)

x ®c_А(x) = í

î1, x Î A.

При этом c_А(х) = 1, если элемент х удовлетворяет свойствам А, и 0, если отложить Х на горизонтальной, а {0, 1} на вертикальной оси, то получим графическое представление (рис. 5.2).

Рисунок 5.2

В полном пространстве Х можно рассматривать различные множества, например А с некоторыми свойствами и В с другими свойствами. Объединение всех таких множеств называется степенным множеством и обозначается как 2^Х. Например, пусть Х = {a, b, c}, тогда степенное множество есть 2^Х = {Æ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, Х}.

Рисунок 5.3

Рассмотрим некоторые операции над множествами (рис. 5.3). Отношение вложения множеств: если элементы А обязательно являются элементами В, то А называется подмножеством В и обозначается как А Ì В (А Ì В справедливо при А = В; если А Ì В, но А ¹ В, то А называется собственным подмножеством В). Если определить А Ì В через характеристическую функцию, то получим следующее неравенство:

c_А(х) £ c_B(x) для " х Î Х.

Для отношения вложения множеств Ì можно доказать справедливость трёх свойств:

1) рефлексивность " А Î 2^Х, А Ì А;

2) антисимметричность " А, В Î 2^Х,А Ì В, В Ì А ®А = В;

3) транзитивность " А, В, С Î 2^Х, А Ì В, В Ì С ®А Ì С.

Есть операции дополнения множества А^с, пересечения множеств А и В (А Ç В) и объединения множеств А È В. Графически их можно пояснить с помощью диаграмм Венна (рис. 5.3). С помощью характеристических функций операции можно определить следующим способом:

c_Ас(x) = 1 - c_А(х) для " х Î Х,

c_АÇB(x) = c_A(х) L c_B(х) для " х Î Х, (5.1.4)

c_АÈB(x) = c_A(х) V c_B(х) для " х Î Х.

Здесь L и V называются операциями взятия минимума и максимума, т. е. взятия наименьшего и наибольшего значений.

Для операций над множествами справедливы свойства:

1) закон идемпотенции А Ç А = А, А È А = А;

2) закон коммутативности А Ç В = В Ç А, А È В = В È А;

3) закон ассоциативности А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С,

А È (В È С) = (А È В) È С;

4) закон абсорбции А Ç (А È В) = А È (А Ç В) = А;

5) закон дистрибутивности А Ç (B È C) = (А Ç В) È (А Ç С),

А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С);

6) закон комплементарности А Ç А^с = Æ, А È А^с = Х.

(2^Х,Ì) образует частично упорядоченное множество, в общем случае удовлетворяющее четырем свойствам (идемпотентности, коммутативности, ассоциативности и абсорбции), называется это множество решёткой; решётка, удовлетворяющая закону дистрибутивности, - дистрибутивная решётка, а дистрибутивная решётка, удовлетворяющая закону комплементарности называется комплементарной дистрибутивной решёткой, она, в свою очередь, известна как булева решётка или булева алгебра.

Отметим два важных свойства, справедливых в булевой алгебре:

1) двойное отрицание А^cc = А,

2) закон де Моргана (А Ç В)^с = А^с È В^с, (А È В)^с = А^с Ç В^с.