Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 5: Выравнивание вариационных рядов (построение теоретических распределений).

Наиболее часто используются законы распределения нормальный и Пуассона.

График нормального распределения имеет форму колоколообразной кривой, симметричной относительно , концы которой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Она имеет точки перегиба, абсциссы которых находятся на расстоянии s от центра симметрии. Эта кривая выражается уравнением:

где у – ордината кривой нормального распределения;

- нормированные отклонения.

При выравнивании вариационного ряда по кривой нормального распределения теоретические частоты ряда определяются по формуле

где N= åf – сумма всех частот вариационного ряда;

h – величина интервала в группах (классах);

s - среднее квадратическое отклонение;

- нормированное отклонение вариантов от средней арифметической.

Значение ординат кривой нормального распределения будет соответствовать величине , которая табулирована и определяется по таблицам значений данной функции j(t) (приложение 1).

Распределение Пуассона. В целом ряде случаев, если вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где по мере увеличения значений признака х частоты резко уменьшаются и где средняя арифметическая ряда равна или близка по значению к дисперсии, т.е. =s², то такой ряд можно выровнять по кривой Пуассона, аналитическое выражение которой

где Р_х – вероятность наступления отдельных значений х;

а = – средняя арифметическая ряда.

Теоретические частоты при выравнивании эмпирических данных определяются по формуле:

f’ =N P_x,

где f ^’ - теоретические частоты;

N – общее число единиц ряда.

После выравнивания ряда, т.е. нахождения теоретических частот, возникает необходимость проверить, случайны или существенны расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и тем самым проверить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о наличии того или иного характера распределения в эмпирическом ряду.

Для оценки близости эмпирических (f) и теоретических (f ^’ ) частот можно применить один из критериев согласия: критерий Пирсона (c² – «хи-квадрат»), критерий Романовского, критерий Колмогорова (l - «лямбда»).

Критерий Пирсона (c²) представляет собой сумму отношений квадратов расхождений между f и f ^‘ к теоретическим частотам:

.

Фактическое значение c² сравнивают с критическим, определяемым по специальным таблицам (приложение 2) в зависимости от принимаемого уровня значимости и числа степеней свободы.

Уровень значимости (a) – вероятность допуска ошибки в утверждении гипотетического закона (характера) распределения – обычно принимается равным 5 % (a=0,05).

Число степеней свободы (k) рассчитывается: k = m – 1 – b

Где m – число групп в ряду распределения; b - число параметров эмпирического распределения, использованных для нахождения теоретических частот. Так, при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы k = m – 1 – 2, поскольку при расчете теоретических частот используется два параметра эмпирического распределения (b=2: и s), т.е. k = m –3. для закона Пуассона b = 1 (а = )

Если фактическое c² оказывается меньше табличного (критического), то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными.

Критерием Романовского:

Если указанное отношение меньше 3, то расхождения считают случайными, если больше 3, то они существенны.

Критерий Колмогорова (l) основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределений:

где D – максимальная разность между накопленными частотами ;

N – сумма всех частот.

Далее по таблицам находится Р(λ) (приложение 3). Чем вероятность ближе к 1, тем увереннее мы можем утверждать, что расхождения между частотами случайны.

На основании полученных значений критериев согласия делаются выводы о близости эмпирических и теоретических частот, таким образом, подтверждается или опровергается гипотеза о наличии того или иного характера распределения в эмпирическом ряду.