Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Оценка интервалов устойчивости двойственных оценок

Более полным является анализ устойчивости двойственных оценок. Он позволяет дать ответы на вопросы:

а) изменятся ли двойственные оценки, если происходит изменение запасов одного или нескольких ресурсов?

б) каковы интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменениям запасов ресурсов? Иначе говоря, до каких пределов можно изменять запасы ресурсов, не нарушая структуру оптимального решения?

г) каково при этом изменение прибыли?

Для анализа нужно изменить запасы ресурсов на величины Δb_i, составить новое выражение целевой функции F, заменив b_i на (b_i+ Δb_i), а базисные переменные из оптимального решения - на их выражение через свободные.

Потребуем, чтобы ООО остались неизменными, т.е. коэффициенты при свободных переменных двойственной задачи в выражении для F на последнем шаге решения были неотрицательными. Это дает требуемое соотношение.

Для рассмотренного примера имеем: запасы ресурсов S₁, S₂, S₃, S₄ равны b₁=18, b₂ =16, b₃ = 5, b₄ = 21. Изменим эти запасы на величины Δb₁, Δb₂, Δb₃, Δb₄. Тогда затраты на ресурсы составят:

F = (18 + Δb₁)∙y₁ + (16 + Δb₂) ∙y₂ + (5 + Δb₃) ∙y₃ + (21 + Δb₄) ∙y₄.

Выражения базисных переменных через свободные на последнем шаге оптимального решения двойственной задачи имеют вид:

y₁ = 4/5 – 2/5·y₃ + 3/5·y₄ - 1/5·y₅ + 2/5·y₆

y₂ = 3/5 + 1/5·y₃ - 9/5·y₄ + 3/5·y₅ - 1/5·y₆

[y₁, y₂ – базисные; y₃, y₄, y₅, y₆, - свободные].

Подставив эти выражения в целевую функцию F, после преобразований получим:

F = (24 + 4/5·Δb₁+3/5·Δb₂) + (1 – 2/5·Δb₁ + 1/5·Δb₂ + Δb₃) ·y₃ + (3 + 3/5·Δb₁ -- 9/5·Δb₂ + Δb₄)y₄ + (6 – 1/5·Δb₁ + 3/5·Δb₂) y₅ + (4 + 2/5·Δb₁ – 1/5·Δb₂) y₆.

Чтобы решение осталось оптимальным, коэффициенты при свободных переменных должны быть неотрицательными (задача на минимум), т.е. должны выполнятся соотношения:

1 - 2/5·Δb₁+ 1/5·Δb₂ + Δb₃ ≥ 0;

3 + 3/5·Δb₁ - 9/5·Δb₂ + Δb₄ ≥ 0;

6 - 1/5·Δb₁+ 3/5·Δb₂ ≥ 0; (**)

4 + 2/5·Δb₁ - 1/5·Δb₂ ≥ 0;

Предположим, что изменяются запасы только ресурса S₁, а остальные запасы ресурсов остаются неизменными, т.е. Δb₁ ≠ 0; Δb₂ = Δb₃ = Δb₄ = 0.

Тогда из системы (**) получим

2/5·Δb₁ ≤ 1; Δb₁ ≤ 5/2;

3/5·Δb₁ ≥ - 3; и Δb₁ ≥ - 5;

1/5·Δb₁ ≤ 6; Δb₁ ≤ 30;

2/5·Δb₁ ≥ - 4; Δb₁ ≥ -10.

откуда -5 ≤ Δb₁ ≤ 5/2,так как b₁ = 18, то имеем

18 - 5 ≤ b₁ +Δb₁ ≤ 18 + 5/2 или13 ≤ b₁ + Δb₁ ≤ 20,5.

Интервал (13 … 20,5) является интервалом устойчивости оценки b₁, т.е. при неизменности запасов ресурсов S₂, S₃, S₄ запас b₁ может изменяться в пределах от 13 до 20,5 единиц. Таким образом, для всех значений b₁ в этих пределах и при прежних значениях b₂, b₃, b₄ структура оптимального решения двойственной задачи сохраняется.

Значение целевой функции F изменится на величину 4/5·Δb₁, т.е. максимально может увеличиться на 2 единицы (4/5∙5/2).

Аналогично можно получить, что 11≤ b₂ +Δb₂ ≤ ; 4 ≤ b₃ +Δb₃ ≤ ∞; 18 ≤ b₄ + Δb₄ ≤ ∞.

То есть, при изменении одного из ресурсов, например, S₁ в пределах от 13 до 20,5 единиц или S₂ – в пределах от 11 до единицы, или S₃ – в пределах не менее 4 единиц, или S₄ – в пределах не менее 18 единиц, оптимальное решение двойственной задачи остается прежним, т.е. Y* = (4/5; 3/5; 0; 0; 0; 0).

Таким образом, по соотношениям объективно обусловленных оценок могут быть определены расчетные нормы заменяемости ресурсов, при соблюдении которых проводимые изменения объемов ресурсов в пределах устойчивости двойственных оценок не влияют на эффективность оптимального плана.

Замечания.

1. Система неравенств в общем виде решается сложно, потому либо рассматривают влияние изменения одного из ресурсов, как сделали мы (если переменных много), либо, если это система из двух неравенств, можно применить геометрический способ.

Легко проверить, что все неравенства (**) справедливы, следовательно, оптимальное решение двойственной задачи остается прежним, т.е. Y*=(4/5; 3/5; 0; 0; 0; 0). Поэтому значение максимальной прибыли составит F_min = Ф_max = = 24 +4/5·10 + 3/5·10 =38, изменение максимальной прибыли с учетом выражения (*) составит ΔF = 14 ед.

2. По соотношениям объективно-обусловленных оценок могут быть определены соотношения расчетных норм заменяемости ресурсов, при соблюдении которых проводимые замены ресурсов в пределах устойчивости двойственных оценок не влияют на эффективность оптимального плана.

Определим нормы заменяемости ресурсов S₁ и S₂. Для этого составим отношение объективно-обусловленных оценок этих ресурсов:

S₁ S₂

y₁= 4/5, y₂=3/5 y₁: y₂= 4: 3.

Это означает, что 3 единицы ресурса S₁ эквивалентны 4 единицам ресурса S₂. Этот вывод справедлив в пределах устойчивости двойственных оценок.