Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Градиент и его свойства

Определение 1: Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается или .

Связь производной по направлению и градиента: производная функции z = ƒ (х; у) по направлению равна скалярному произведению градиента функции в указанной точке и единичного вектора заданного направления.

Из этого соотношения очевидным образом следует, что наибольшее значение будет тогда, когда , то есть, когда направление совпадает с направлением градиента.

Определение 2: Градиентом функции z = ƒ (х; у) в данной точке М ₀(х ₀; у ₀) называется вектор, имеющий своим началом эту М ₀(х ₀; у ₀), а своими координатами – значения частных производных функции z = ƒ (х; у) в точке М ₀.

Свойства градиента:

Градиент направлен по нормали к поверхности z = ƒ (х; у) в точке М ₀.

Градиент направлен в сторону наибольшего возрастания функции и равен по величине мгновенной скорости возрастания функции (то есть производной по этому направлению).

Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.