Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство

Рассмотрим однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми начальными условиями.

(1)

Начальные условия: v = 0 и ∂ v /∂ t = 0 при t = 0.

Представим теперь функцию v как сумму некоторых двух функций:

Подставим это выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от f в правую часть уравнения (1).

(3)

Мы можем выбрать и присвоить функции f определенное выражение. Пусть, например,

f = (cosπ x ·sina t)⁴, когда –1 < x < 1 и 0 < t < π/a;

f = 0 если x < –1 или x > 1 и t > π/a или t < 0.

Функция ограничена f в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3) превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого нам известна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции u.

Начальные условия:

Решение уравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1], стр. 75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат – новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волнового уравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:

,

(5)

где .

Функция f не должна быть решением волнового уравнения.

Мы видим, что второе решение существует и отлично от нуля при t > 0. Таким образом, теорема о нарушении единственности решения задачи Коши для волнового уравнения доказана.