Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Достаточные условия дифференцируемости.

Займемся выяснением достаточных условий дифференцируемости функции переменных. Докажем следующую теорему.

Теорема 12.10. Если функция имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности.

точки причем все эти частные производные непрерывны в самой точке то указанная функция дифференцируема в точке

Доказательство. Для сокращения записи проведем доказательство для функции двух переменных Итак, пусть частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Дадим аргументам х и у столь малые приращения чтобы точка не выходила за пределы указанной окрестности точки. Полное приращение можно записать в виде

Выражение можно рассматривать как приращение функции одной переменной х на сегменте Поскольку функция имеет частные производные, указанная функция дифференцируема и еепроизводная по х представляет собой частную производную Применяя к указанному приращению формулу Лагранжа, найдем такое из интервала что

Рассуждая совершенно аналогично, получим

Так как производные непрерывны в точке то

где — бесконечно малые при функции. Отсюда, учитывая приведенные выражения для

и выражение для найдем

Следовательно, функция дифференцируема в точке

Для функции переменных рассуждения аналогичны, нужно только полное приращение такой функции представить в виде

Теорема доказана.

 Дифференциал ФНП.

В

ВВ Пусть функция u = F (x) определена РІ области D Рё Вв€’ фиксированная точка. Дадим приращение каждому аргументу С… _ЕЈ: ВВеличину Вбудем называть вектором приращения. Р’ СЃРІРѕСЋ очередь функция u  получит приращение равное

Определение 1. ФункцияВВ u = F (x) называется дифференцируемой РІ С‚. С…, если ее приращение может быть представлено РІ следующем РІРёРґРµ:В

ВВВВВВВВВВВВВ ВРіРґРµ

A _ЕЈ = A _ЕЈ(x) Рё РЅРµ зависит РѕС‚ О” С…, Р° Вв€’ бесконечно малая РїСЂРё

Величина вектора Δ С…  равна:В

Используя это обозначение, можно написать

Легко показать, что

{ }

Определение 2. Главная и линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом:

Теорема 1. Функция, дифференцируемая в т . х ^o − непрерывна в этой точке. { }

Теорема 2. (Необходимое условие дифференцируемости) Если F (x) дифференцируема в т. х, то она имеет все частные производные в этой точке, причем

{Пусть }

Отсюда, ВЕсли х в€’ независимая переменная, то Рё окончательно

ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ

Теорема 3.В (Достаточное условие дифференцируемости) Пусть F(x) имеет РІСЃРµ частные производные РІ окрестности С‚.В С… ^РѕВ, непрерывные РІ самой этой точке. РўРѕРіРґР° функция дифференцируема РІ С‚.В С… ^Рѕ.

{без доказательства}

Замечание. Для дифференцируемости функции одной переменной достаточно существования производной.

В Дифференциал функции u  называют полным дифференциалом.

Определение 3. Выражение ВВназывается дифференциальной формой.

Теорема 4. Дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u (х, у) тогда и только тогда, когда выполнено условие

{1.Необх.: Тогда

2. Дост. – без доказательства}

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:ВВВВВ

ВВВВВВВВВВВВВВ

В

В§6. Геометрический смысл дифференцируемости. Касательная плоскость Рё нормаль РєВВВВВВВВВВВ

В ВВВ поверхности.

ВВВ Рассмотрим поверхность S: z = f (x,y), дифференцируемую РІ С‚. S.

Определение 1. Плоскость, проходящая через С‚. Рњ ₀, называется касательной плоскостью к поверхности S РІ С‚. Рњ ₀, если СѓРіРѕР» между ней Рё секущей (Рњ ₀ Рњ ₁) () стремится Рє нулю РїСЂРё .

Определение 2. Вектор, ортогональный Рє касательной плоскости РІ С‚. Рњ ₀, называется нормальным вектором Рє поверхности РІ этой точке. Нормалью Рє поверхности называется

прямая, проходящая через С‚. Рњ ₀ перпендикулярно касательной плоскости РІ этой точке.

 Обозначим , . Вектор приращения: В

 Из условия дифференцируемости функции z  следует, чтоВ

В Рассмотрим плоскость ВРё СѓРіРѕР» П† между секущей Рё этой плоскостью: ВРїСЂРё Отсюда сразу следует, что плоскость Рџ – касательная Рє поверхности РІ С‚. Рњ ₀. Р’ результате имеем:В

Функция z = f (x,y), дифференцируемая РІ некоторой точке (С… ₀, Сѓ ₀) имеет РІ соответствующей С‚. Рњ ₀ касательную плоскость: ВРё нормальный вектор