Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Кинематика

Кинематика – раздел механики, изучает движение материальной точки (тела) без учета причин, вызвавших это движение.

Системы отсчета и описание движения.

Механическое движение - процесс изменения положения тела или его частей по

отношению к другим телам или друг другу.

Для описания механического движения необходимо указать тело, относительно

которого рассматривается движение.

Произвольно выбранное неподвижное тело, по отношению к которому

рассматривается движение данного тела, называется телом отсчета.

Связанная с этим телом

произвольная система координат, называется системой отсчета. Чаще всего

используют декартову прямоугольную систему.

Положение точки однозначно определяется 3-мя координатами М (х, у, z).

x = f₁(t)

y = f₂(t)

z = f₃(t)

Эти уравнения являются уравнениями движения материальной точки. Совокупность

последовательных положений точки М в процессе ее движения, называется

траекторией движения точки.

Для определения уравнения траектории необходимо исключить из уравнения время.

С точки зрения кинематики никакого различия между разными системами отсчета

нет, они все совершенно равноценны.

Лекция 2.

Величины, характеризующие движение.

Поступательное движение.

Простейшим видом механического движения абсолютно твердого тела является

поступательное движение - такое движение, при котором тело перемещается

параллельно самому себе. При этом все точки описывают конгруэнтные

(одинаковые) траекторий, смещенные друг относительно друга.

Поступательное движение абсолютно твердого тела может быть охарактеризовано

движением какой-либо одной его точки, например, центра масс.

Материальная точка (тело), двигаясь в пространстве, оставляет в нём линию (след). Линия, которую описывает тело при своём движении, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Частным случаем криволинейного движения является движение по окружности.

Пусть материальная точка (тело) переместилось вдоль некоторой траектории из точки А в точку В (рис.). Расстояние от точки А до точки В, которое тело прошло вдоль траектории, называется путём. Эта величина является скаляром и обозначается ℓ. Вектор , соединяющий начальное положение тела (материальной точки) с его последующим положением, называется перемещением. Если тело движется прямолинейно и без изменения направления движения, то , т.е. модуль перемещения равен пройденному пути. В общем случае модуль перемещения (рис.).

Для характеристики быстроты перемещения вводится понятие скорости. Скорость – величина векторная. Средняя скорость показывает, чему равно перемещение тела за единицу времени ∆t:

При движении по траектории скорость может меняться.

Скорость тела в данный момент времени в данной точке траектории называется мгновенной скоростью:

Вектор направлен вдоль перемещения, а вектор направлен по касательной в данной точке траектории.

Скорость тела может изменяться по величине и направлению. Величина, характеризующая любое изменение скорости, называется ускорением. Ускорение – величина векторная:

На рисунке изображено движение материальной точки с переменной скоростью по криволинейной траектории.

– изменение скорости по величине (тангенциальная составляющая),

– изменение скорости по направлению (нормальная составляющая)

где a – полное ускорение,

a_τ – тангенциальная составляющая, характеризующая изменение скорости по величине,

a_n – нормальная составляющая, характеризующая изменения скорости по направлению (центростремительное ускорение).

Ускорение изменяется со временем. В зависимости от величины ускорения, движения подразделяются на:

а) если переменно – движение неравномерное;

б) если a = const – движение равнопеременное, в частном случае: при а > 0 – равноускоренное, при a < 0 равнозамедленное;

в) если a = 0 – движение равномерное и прямолинейное.

Величины ℓ, , , t, называются кинематическими параметрами поступательного движения. Установление связи между ними даёт возможность решать любые кинематические задачи:

;

Частные случаи решения этих уравнений даны в таблице:

Физическая величина	Поступательное движение
По горизонтали	По вертикали
Уравнения для видов механического движения.
Равно- мерное	Равно- ускоренное	Равно- замедленное	Равно- ускоренное (вниз)	Равно- замедленное (вверх)
Путь		при
Скорость	v = v0	при
Ускорение	a = 0	a > 0	a < 0	g > 0	g < 0

h и g – соответственно путь и ускорение (ускорение свободного падения) при вертикальном движении.

При совместном решении этих уравнений могут быть получены частные решения, например:

Движение тела брошенного под углом α к горизонту (рис.) является сложным, состоящим из нескольких движений (без учёта сопротивления воздуха):

а) равномерного прямолинейного вдоль оси х со скоростью v = v₀cosα, c дальностью полёта:

б) равнозамедленного вверх со скоростью v = v₀sinα, с максимальной высотой подъёма , временем подъёма ;

в) равноускоренного (свободного падения вниз) со временем спуска t_c = t_под.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

В качестве сложного движения рассмотрим движение точечной массы брошенной под

углом a к горизонту со скоростью v₀.

В этом случае точка одновременно движется равномерно со скоростью v_ox

вдоль оси Х и равнозамедленно с начальной скоростью v_y

вдоль оси У. (а = g)

Уравнение движения точки имеют вид:

x = v_0xt, где v_0x = v₀cos α

y = v_0yt – gt²/2, где v_0y = v₀ sin α

Для нахождения уравнения траектории движения необходимо из системы уравнений

исключить время:

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы:

Для нахождения y_max необходимо найти первую производную

указанной функции по Х и приравнять ее к нулю, определить вторую

произ­водную и исследовать ее знак. Если вторая производная меньше 0, то

функция действительно имеет максимум.

Следовательно, у = y_max при x=k/2b т.е.

Все записанное справедливо, если отсутствует или достаточно мало

сопротивление среды, в которой движется материальная точка. Таким образом,

наибольшая дальность полета в отсутствии сил сопротивления наблюдается при

движении тела под углом в 45° к горизонту.

Движение по окружности – частный случай криволинейного движения. Рассмотрим вращение твёрдого тела (или материальной точки) вокруг неподвижной оси 0^/0^/(рис.).

Точки А, В и С расположены на радиусе шара на разных расстояниях от оси вращения. За одно и то же время ∆t они описывают разные дуги , но поворачиваются на один и тот же угол ∆φ – угол поворота называемый угловым путём. Он аналогичен линейному пути Sпри поступательном движении, поэтому по аналогии:

где ω_ср и ε_ср – средние угловая скорость и ускорение,

ω и ε – мгновенные угловые скорость и ускорение.

Угловая скорость и угловое ускорение – векторные величины, направленные по оси вращения. Вектор имеет направление правого винта. При ускоренном вращении вектора и совпадают, при замедленном движении направлены в разные стороны. Движение каждой точки твердого тела можно описать как через параметры поступательного движения ℓ, v, a, так и параметры вращательного движения φ, ω, ε. Между этими параметрами существует очень простая зависимость:

где r – удаленность точки (ее радиус) от оси вращения.

При равномерном вращении вектор aв любой точке траектории направлен по радиусу r к центру окружности О и называется центростремительным ускорением:

Число оборотов n за единицу времениt называется частотой ν вращения. Время одного полного оборота тела (точки) Т называется периодом вращения, при этом r опишет угол радиан: или

.

Основные уравнения вращательного движения приведены в таблице:

Вращательное движение
Равномерное	Равнопеременное

В заключении раздела приведём графики пути S = S(t) (рис. а, б, в), скорости V = V(t) (рис. г, д) и ускорения a = a(t) (рис. е) для различных видов движения тел:

Задача №1. Турист вышел из некоторого пункта и, двигаясь строго на север, за 1 час прошёл 4 км, затем он повернул на восток и прошёл ещё 4 км. Через 1 час он повернул строго на юго-восток и в течении 1 часа прошёл 7 км. Найти модуль результирующего перемещения туриста за 3 часа и пройденный путь. Ответ дать в километрах.

S1 = 4 км; S2 = 4 км; S3 = 7 км; t1 = t2 = t3 = 1 ч.

Решение: выберем систему отсчёта, связанную с землёй (рис.), координатные оси направим так, чтобы ось у совпадала с движением на север.

Построим векторы отдельных перемещений , , и результирующего перемещения .

Определим результирующее перемещение. Из рисунка видно, что:

так как

По условию , тогда . Следовательно, ∆ОВС прямоугольный. Поэтому:

Пройденный туристами путь:

ℓ = ОА + АВ + ВС;

ℓ = 4 + 4 + 7 = 15 км.

Ответ: перемещение = 9км; путь ℓ = 15 км.

Задача №2. Колонна мотострелковых войск движется по шоссе со скоростью v = 10 м/с, растянувшись на расстояние ℓ = 3 км. Из хвоста и головы колонны одновременно выезжают навстречу друг другу два мотоциклиста со скоростями v₁ = 20 м/с и v₂ = 15 м/с соответственно. За какое время первый мотоциклист достигнет головы, а второй хвоста колонны?

v =10 м/с; ℓ = 3 км = 3000 м; v1 = 20 м/с; v2 = 15 м/с.
t1; t2 –?

Решение: I способ: выберем подвижную систему отсчёта, перемещающуюся с колонной (рис.). За начало координат 0^/ принимаем хвост колонны, а за положительное направление оси 0^/Х^/ – направление движения колонны.

Неподвижную систему отсчёта связываем с землёй, начало координат 0 совмещаем с точкой, где находился хвост колонны в момент выезда мотоциклистов, положительное направление оси ОХ такое же, как оси О^/Х^/. Обозначаем через и скорости первого и второго мотоциклистов в подвижной системе отсчёта. Согласно закону сложения скоростей:

отсюда:

Найдём проекции векторов и на ось О^/Х^/, учитывая при этом, что проекция разности векторов равна разности их проекций (на одну и ту же ось):

или

Напишем уравнение, выражающие зависимость координаты первого мотоциклиста от времени t:

. (1)

В момент времени t = t, мотоциклист достигнет головы колонны, его координата станет равной Х^/₁ = ℓ. На основании уравнения (1) получим:

отсюда (2)

Зависимость координаты второго мотоциклиста от времени выражается уравнением:

(3)

В момент времени t = t₂ второй мотоциклист достигнет хвоста колонны, координата которого . Согласно уравнению (3) получим:

отсюда (4)

Проверим размерность:

Подставив в формулы (2) и (4) числовые значения заданных величин, найдём:

Ответ: время движения первого и второго мотоциклистов соответственно равны t₁ = 600 c; t₂ = 8,57 c.

II Способ: рассматривая движение колонны мотоциклистов относительно неподвижной системы отсчёта, запишем уравнения для координат первого (Х₁) и второго (Х₂) мотоциклистов, а также координат головы (Х₃) и хвоста (Х₄) колонны:

.

В момент времени t = t₁, когда первый мотоциклист достигнет головы колонны, будет иметь место равенство Х₁ = Х₃, т.е.

откуда

Второй мотоциклист достигнет хвоста колонны в момент времени t = t₂, при этом Х₂ = Х₄. Следовательно:

откуда

Таким образом, независимо от выбора системы отсчёта, результат получается одним и тем же.

Задача №3. Катер пересекает реку. Скорость течения равна v₁ = 0,7 м/с, скорость катера относительно воды v₂ = 1,4 м/с, ширина реки 280 м. Под каким углом α к берегу должен идти катер, чтобы пересечь реку за минимальное время? На какое расстояние снесёт катер по течению?

v1 = 0,7 м/с; v2 = 1,4 м/с; L = 280 м.
d; α –?

Решение: движение катера – сложное (рис.):

1) он перемещается относительно воды со скоростью ;

2) вместе с водой относительно берега со скоростью .

Неподвижную систему координат ХОУ свяжем с берегом, приняв за начало координат О точку, с которой катер начинает двигаться, и направив ось ОХ по течению, вдоль берега, а ось ОУ перпендикулярно берегу. Относительно системы координат ХОУ катер движется со скоростью:

.

Найдём проекции вектора на оси ОХ и ОУ:

.

Запишем уравнения, выражающие зависимость координат катера от времени:

.

Катер достигнет другого берега в момент времени t = t₁, когда y = L,

где L – ширина реки.

Следовательно, время, необходимое для пересечения реки:

.

Оно будет минимальным, когда , т.е. когда . Это означает, что катер должен держать курс перпендикулярно берегу. Расстояние, на которое снесёт катер, определится как:

или

Ответ: катер должен идти к берегу под углом и снести катер по течению расстояние на d = 140 м.

Задача №4. Первую половину пути автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, а вторую половину со скоростью 40 км/ч. Найти среднюю скорость движения автомобиля.

Решение: при прямолинейном движении путь равен модулю вектора перемещения, поэтому:

, (1)

где S – перемещение автомобиля.

Полное время движения:

Здесь S₁, S₂ – перемещение автомобиля за время t со скоростью v₁ и время t₂со скоростью v₂ соответственно. По условию задачи:

.

Следовательно: (2)

Подставляя выражение (2) в уравнение (1) найдём:

.

Ответ: средняя скорость движения равна v_ср = 14,7 м/с.

Задача №5. Самолёт для взлёта должен приобрести скорость 288 км/ч. Каково ускорение самолета, если длинна взлётной полосы 1 км?

Решение: движение самолёта равноускоренное. Используя уравнение кинематики (для случая, когда начальная скорость v₀ = 0) получаем:

откуда ;

Размерность: ;

Ответ: ускорение самолёта, a = 41472 км/ч² или в системе СИ a = 3,2 м/с².

Задача №6. Камень брошен под углом 30⁰ к горизонту со скоростью 10 м/с. Через какое время камень будет на максимальной высоте? На каком расстоянии от начальной точки он упадёт? Ускорение свободного падения 10 м/с².

α = 300; v0 = 10 м/с; g = 10 м/с2.
tм; S –?

Решение: рассмотрим график движения тела (рис.)

Разложим вектор начальной скорости v₀ на две составляющие: вертикальную:

и горизонтальную

Вертикальная составляющая убывает со временем по закону:

;

и в верхней точке А траектория обращается в нуль, т.е.

,

откуда время достижения максимальной высоты (точка А):

;

Размерность:

Время полёта камня до падения будет в два раза больше t = 2t_м и движение его по горизонтали (без учёта сопротивления воздуха) будет равномерным с постоянной скоростью v_ог, т.е.:

.

Размерность: ;

Ответ: время достижения камнем максимальной высоты 0,5 с, расстояние от начальной точки до точки падения (дальность полёта) 8,66 м.

Задача №7. Охарактеризуйте движения двух материальных точек, графики скоростей которых 1 и 2 представлены на (рис.).

Ответ: на рисунке представлены графики равноускоренных движений двух материальных точек (графики – прямые линии, ускорения численно равны тангенсам углов наклона прямых). Вторая материальная точка начала двигаться с начальной скоростью v₀ и с большим по величине ускорением a₂ >a₁. Первая точка начала движение без начальной скорости.

Задача №8. Как движутся поезда 1, 2 и 3, графики движения которых даны на (рис. а, б, в)

Ответ: поезд №1 стоит, т.к. пройденный путь S не меняется со временем, поезд №2 движется равномерно (v = const), поезд №3 движется равноускоренно с постоянным ускорением а.

Задача №9. Задана система координат, где по осям отложены ускорение a и время t. Начертите графики равномерного, равноускоренного и равнозамедленного движения на (рис. а)

Ответ: график 1 равномерного движения (a = 0), график 2 равноускоренного движения a > 0 и постоянно во времени, график 3 равнозамедленного движения a < 0 и постоянно во времени (рис. б)

Задача №10. Охарактеризуйте движения двух материальных точек, графики пути которых 1 и 2 представлены на рисунке.

Ответ: на рисунке представлены графики равномерных движений с постоянной одинаковой скоростью (v₁ = v₂) (графики прямые параллельные линии, скорости движения численно равны тангенсам их углов наклона). Точка 2 к началу движения прошла некоторый путь S > 0.

Задача №11. Определить путь, пройденный телом при свободном падении за пятую секунду движения (g = 10 м/с²).

Решение: используя уравнение кинематики для пути при свободном падении, выразим пути, пройденные телом за пять секунд (h₁₅) и за предшествующие четыре секунды (h₁₄).

Тогда путь за одну пятую секунду:

Размерность:

Ответ: за пятую секунду при свободном падении с ускорением g = 10 м/с² тело пройдёт путь равный 45 м.

Задача №12. Линейная скорость точек обода колеса равна 5 м/с, а скорость точек, находящихся на 0,18 м ближе к оси вращения, равна 2 м/с. Определить период вращения.

v1 = 5 м/с; v2 = 2 м/с; х = 0,18 м.
Т –?

Решение: точки колеса (рис.) как твёрдого тела вращаются с одинаковой угловой скоростью ω. Линейная скорость:

– для точки 1: (1)

– для точки 2: (2)

Определим радиус колеса R:

;

откуда: ; (3)

Перепишем уравнение (1), выражая ω через период Т:

или с учётом формулы (3):

откуда

Размерность:

Ответ: период вращения колеса равен 0,37 с.

Задача №13. Найти скорость вагона, если его колесо делает 190 оборотов в минуту при диаметре 950 мм.

Решение: выразим линейную скорость:

Размерность:

Ответ: скорость вагона равна 9,4 м/с.