Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод Симпсона (метод парабол)

Отрезок интегрирования [ a, b ] разбивается на четное число n частичных равных отрезков [ x_{i- 1}, x_i ] (i = 1, 2, ...,n, a = x ₀ < x ₁ <...< b = x_n) с постоянным шагом h. На каждом двойном частичном отрезке [ x_{i- 1}, x_{i+ 1}], содержащем три узла, подынтегральная функция f (x) интерполируется полиномом второй степени - квадратичной параболой, проходящей через три узловые точки (x_{i- 1}, f_{i- 1}),(x_i, f_i) и (x_{i+ 1}, f_{i+ 1}). В форме интерполяционного полинома Ньютона данная парабола имеет вид:

С учетом (x-x_i) = (x-x_{i- 1}- h) интерполяционный полином принимает вид:

Интегрируя это выражение на частичном отрезке [ x_{i- 1}, x_{i+ 1}] длиной 2 h, получим:

(11.29)

Приближенное значение всего интеграла на полном отрезке интегрирования [ a, b ] получаем суммированием частичных интегралов (11.29) по всем частичным отрезкам [ x_{i- 1}, x_{i+ 1}]:

. (11.30)

Формулу (11.30) называют формулой Симпсона или формулой парабол.

Второй вариант формулы получают в том случае, когда подынтегральную функцию f (x) интерполируют квадратичной параболой на каждом частичном отрезке [ x_{i- 1}, x_i ] с привлечением дополнительной точки x_{i- 0,5} – середины данного отрезка. При этом число отрезков разбиения n может быть произвольным (не обязательно четным), а формула Симпсона принимает вид:

. (11.31)

Формула (11.30) пригодна для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, тогда как формула (11.31) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически.

Пример 1. Для функции f (x) = sin x определить приближенное значение определенного интеграла на отрезке [-p/6;p] с шагом p/6 по методу Симпсона с использованием значений функции f (x) в средних точках между узлами из примера 1 п. 11.3. Найти абсолютную погрешность.

Решение. По формуле (11.31) получим:

S»(p/36)×(-0,5+4×(-0,258819)+2×0+4×(0,258819)+2×0,5+4×(0,707107)+2×0,866025+ +4×(0,965926)+ 2×1+4×(0,965926)+2×0,866025+4×(0,707107)+2×0,5+4×(0,258819)+0)»

»1,866075.

Абсолютная погрешность D = ½S - I _т½= ½1,866075 -1,866025½= 0,000050.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какой вид аппроксимации подынтегральной функции используется в методе Симпсона?

2. Почему вариант метода Симпсона (11.30) пригоден для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, а формула (11.31) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически?