Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод Симпсона (метод парабол)

Читайте также:
  1. D. Прочие методы регулирования денежно-кредитной сферы
  2. I метод отпечатка на липкой ленте.
  3. I. АДМИНИСТРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРИРОДООХРАННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ
  4. I. Методические рекомендации
  5. I. Методы эмпирического исследования.
  6. I. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ
  7. I.4. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ СПЕЦКУРСА
  8. II Биохимические методы
  9. II Методы очистки выбросов от газообразных загрязнителей.Метод абсорбции.
  10. II Методы очистки сточных вод от маслопродуктов.Принцип работы напорного гидроциклона.

Отрезок интегрирования [a,b] разбивается на четное число n частичных равных отрезков [xi-1, xi] (i = 1, 2,...,n, a = x0 < x1 <...< b = xn) с постоянным шагом h. На каждом двойном частичном отрезке [xi-1, xi+1], содержащем три узла, подынтегральная функция f(x) интерполируется полиномом второй степени - квадратичной параболой, проходящей через три узловые точки (xi-1,fi-1),(xi,fi) и (xi+1,fi+1). В форме интерполяционного полинома Ньютона данная парабола имеет вид:

С учетом (x-xi) = (x-xi-1-h) интерполяционный полином принимает вид:

Интегрируя это выражение на частичном отрезке [xi-1, xi+1] длиной 2h, получим:

(11.29)

Приближенное значение всего интеграла на полном отрезке интегрирования [a,b] получаем суммированием частичных интегралов (11.29) по всем частичным отрезкам [xi-1, xi+1]:

 

. (11.30)

Формулу (11.30) называют формулой Симпсона или формулой парабол.

Второй вариант формулы получают в том случае, когда подынтегральную функцию f(x) интерполируют квадратичной параболой на каждом частичном отрезке [xi-1, xi] с привлечением дополнительной точки xi-0,5 – середины данного отрезка. При этом число отрезков разбиения n может быть произвольным (не обязательно четным), а формула Симпсона принимает вид:

 

. (11.31)

Формула (11.30) пригодна для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, тогда как формула (11.31) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически.

Пример 1.Для функцииf(x) = sinx определить приближенное значение определенного интеграла на отрезке [-p/6;p] с шагом p/6 по методу Симпсона с использованием значений функцииf(x) в средних точках между узлами из примера 1 п. 11.3. Найти абсолютную погрешность.

Решение. По формуле (11.31) получим:

S»(p/36)×(-0,5+4×(-0,258819)+2×0+4×(0,258819)+2×0,5+4×(0,707107)+2×0,866025+ +4×(0,965926)+ 2×1+4×(0,965926)+2×0,866025+4×(0,707107)+2×0,5+4×(0,258819)+0) »

»1,866075.

Абсолютная погрешность D = ½S - Iт½= ½1,866075 -1,866025½= 0,000050.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какой вид аппроксимации подынтегральной функции используется в методе Симпсона?

2. Почему вариант метода Симпсона (11.30) пригоден для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, а формула (11.31) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически ?


Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 14 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2018 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав