Вычисление интеграла с заданной точностью

Читайте также:

Используя приведенные выше оценки погрешности методов численного интегрирования Ньютона-Котеса теоретически можно априори (до проведения расчета) определить шаг интегрирования h, при котором абсолютная погрешность вычисленного результата гарантированно не превысит допустимое значение e. Однако использование таких оценок в общем случае сводит задачу интегрирования функций к еще более сложной задаче интегрирования их производных. Поэтому на практике наряду с априорными используют апостериорные методы оценки погрешности операции численного интегрирования, основанные на анализе результатов предварительных расчетов.

11.6.1. Интегрирование с постоянным шагом. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности численного интегрирования

Обозначим точное значение искомого интеграла от функции f (x) на отрезке [ a, b ] через I. Допустим, численный расчет интеграла выполняется по приближенному методу М, имеющим порядок р, с постоянным шагом h и получено расчетное значение, которое обозначим через I ⁽ ^h ⁾. Если уменьшить шаг интегрирования в 2 раза и определить для шага h/ 2 тем же методом приближенное значение интеграла I ⁽ ^h^/ ²⁾, то из априорной оценки погрешности для метода интегрирования М следует, что в первом и втором случаях верны следующие соотношения:

I - I ^(h)» C ×(h) ^р,

I - I ^{(h/ 2)}» C ×(h/ 2) ^р,

где C = C (f (x) ,a,b,M) - величина, зависящая от интеграла некоторой производной функции f (x) на отрезке [ a, b ].

Определим из данных оценок зависимость неизвестной погрешности I - I ⁽ ^h^/ ²⁾ от полученных численных значений интеграла I ⁽ ^h ⁾ и I ⁽ ^h^/ ²⁾. Вычитая из первой оценки вторую, получим:

I ⁽ ^h^/ ²⁾ - I ⁽ ^h ⁾» C × h^р (2 ^р -1) / 2 ^р.

Отсюда вытекает:

I - I ^{(h/ 2)}» C × h/ 2 ^р = (I ^{(h/ 2)} - I ^(h))/(2 ^р -1).

Переходя к абсолютным величинам, получим приближенную оценку абсолютной погрешности для метода интегрирования порядка р, которую называют правилом Рунге:

D(I ^{(h/ 2)}) = ï I - I ^{(h/ 2)} ï»ï I ^{(h/ 2)} - I ^(h)ï /(2 ^р -1). (11.41)

Правило Рунге для рассмотренных методов в зависимости от их порядка р дает следующие оценки.

1. Методы левых и правых прямоугольников (р = 1):

ï I - I ⁽ ^h^/ ²⁾ ï»ï I ⁽ ^h^/ ²⁾ - I ⁽ ^h ⁾ï. (11.41а)

2. Методы средних прямоугольников и трапеций (р = 2):

ï I - I ^{(h/ 2)} ï»ï I ^{(h/ 2)} - I ^(h)ï/3. (11.41б)

3. Метод Симпсона (р = 4):

ï I - I ⁽ ^h^/ ²⁾ ï»ï I ⁽ ^h^/ ²⁾ - I ⁽ ^h ⁾ï/15. (11.41б)

Из правила Рунге вытекает, что для метода интегрирования порядка р требуемая точность интегрирования e будет получена уже у интеграла I ⁽ ^h^/ ²⁾, если для последовательно найденных значений I ⁽ ^h^/ ²⁾ и I ⁽ ^h ⁾ выполняется соотношение:

ï I ⁽ ^h^/ ²⁾ - I ⁽ ^h ⁾ï £e×(2 ^р -1).

Если данное условие не выполнено, то требуется продолжить уменьшение шага, найти интеграл I ⁽ ^h^/ ⁴⁾ и применить правило Рунге к значениям I ⁽ ^h^/ ⁴⁾ и I ⁽ ^h^/ ²⁾ и т.д.

При расчете нового значения интеграла I ⁽ ^h^/ ²⁾ при двойном уменьшении шага для сокращения расчетов необходимо использовать уже известное значение I ⁽ ^h ⁾. Например, в методах левых и правых прямоугольников, трапеций:

I ⁽ ^h^/ ²⁾ = I ⁽ ^h ⁾/2 + (h/ 2)(f (x _н1)+...+ f (x _нк)),

где x _н1,..., x _нк- новые узловые точки в I ⁽ ^h^/ ²⁾, которые добавляются к прежним в I ⁽ ^h ⁾.

Пример 1. Рассчитать с использованием правила Рунге интеграл функции f (x)=sin(x) на отрезке [0,p/2] с точностью e = 0,02 по методу трапеций. Погрешность полученного значения проверить по точному решению.

Решение. Расчеты будем выполнять с точностью до третьего знака после запятой. Метод трапеций имеет второй порядок (р = 2), для численного расчета интеграла по нему используем формулу (11.28):

1.Вначале принимаем начальный шаг интегрирования равным всему отрезку:

h = b - a = p/2. Найдем численное значение интеграла:

I ⁽ ^h ⁾ = (p/2)((sin(0)+ sin(p/2))/2)= (p/2)((0+1)/2)= p/4» 0,785.

2. Уменьшим шаг интегрирования в 2 раза: h /2 = p/4. Численное значение интеграла:

I ⁽ ^h^/ ²⁾ = I ⁽ ^h ⁾/2 + (h /2)sin(p/4) = 0,785/2 + (p/4)(0,707)» 0,393 +0,555 = 0,948.

Оценим абсолютную погрешность последнего значения по правилу Рунге (11.41б) и сравним ее с заданной точностью e:

ï I - I ⁽ ^h^/ ²⁾ ï»ï I ⁽ ^h^/ ²⁾ - I ⁽ ^h ⁾ï/3»ï0,948- 0,785ï/3» 0,054 > e = 0,02.

Проверка показывает недостаточную точность расчета интеграла, следовательно, шаг необходимо уменьшить.

3. Уменьшим шаг интегрирования в 2 раза: h /4 = p/8. Численное значение интеграла:

I ^{(h/ 4)} = I ^{(h 2)}/2 + (p/8)(sin(p/8)+ sin(3p/8)) = 0,948/2 + (p/8)(0,383+0,984)» 0,474 + 0,513 = 0,987.

Оценим погрешность последнего значения по правилу Рунге и сравним ее с e:

ï I - I ⁽ ^h^/ ⁴⁾ ï»ï I ⁽ ^h^/ ⁴⁾ - I ⁽ ^h^/ ²⁾ï/3»ï0,987 - 0,948ï/3» 0,013 < e = 0,02.

Проверка выполнена, принимаем в качестве значения искомого интеграла значение I ⁽ ^h^/ ⁴⁾ =0,987.

Первообразная функции f (x): F (x) = -cos x. Точное значение рассмотренного определенного интеграла на отрезке [0;p/2] равно: I = (-cos(p/2)-(-cos(0))» 1. Точное (до округления величин) значение абсолютной погрешности расчета интеграла равно: ï I - I ⁽ ^h^/ ⁴⁾ ï= 0,013. Оно не превышает заданной точности e = 0,02.

11.6.2. Локальная оценка Интегрирование с постоянным шагом. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности численного интегрирования

Применение правила Рунге сразу ко всему отрезку интегрирования [ a, b ] и соответствующее уменьшение шага на нем является глобальным, т.е. относящимся ко всей рассматриваемой области определения функции f (x). На больших отрезках [ a, b ] функция может существенно изменять свои свойства. При этом на тех участках, где f (x) близка к линейной, для получения высокой точности не нужна слишком мелкая сетка из узлов, в то время, как на участках с существенно нелинейным изменением f (x) такая сетка необходима.

Раздельный учет особенностей f (x) на разных участках общего отрезка при ее интегрировании возможен при локальном контроле погрешности интегрирования, когда правило Рунге и коррекция шага интегрирования производятся независимо на отдельных частях [ a_i, b_i ] отрезка [ a, b ]. В этом случае при общей заданной точности интегрирования e на всем [ a, b ] на частичном отрезке [ a_i, b_i ] вводится локальная точность, пропорциональная его длине e _i = (b_i - a_i)/(b - a). При использовании метода интегрирования порядка р условие получения требуемой точности на [ a_i, b_i ] принимает вид:

ï I ^{(h/ 2)} - I ^(h)ï £e _i ×(2 ^р -1) £e×(2 ^р -1)(b_i - a_i)/(b - a). (11.42)

При локальном контроле в худшем случае ошибка вычисленного значения интеграла на всем [ a, b ] не будет превосходить сумму локальных погрешностей, т.е. не будет превосходить заданного уровня погрешности e.

Способ вычисления интеграла с автоматическим выбором шага имеет то преимущество, что он “приспосабливается” к особенностям подынтегральной функции: в областях резкого изменения функции шаг уменьшается, а там, где функция меняется слабо, – увеличивается. Такие алгоритмы называют адаптивными, т.е. приспосабливающимися. Использование адаптивных алгоритмов позволяет при заданной точности e уменьшить количество вычислений значений f (x) по сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом, т.е. сократить затраты машинного времени без потери точности решения.

Вопросы для проверки знаний.

1. Почему априорные оценки погрешности методов численного интегрирования нельзя использовать для определения необходимого шага интегрирования?

2. В чем заключается сущность апостериорных методов оценки погрешности операции численного интегрирования?

3. В чем заключается правило Рунге оценки абсолютной погрешности для метода интегрирования порядка р?

4. Почему правило Рунге для методов трапеций и Симпсона имеет разный вид?

5. Каким образом правило Рунге используется для определения необходимого шага интегрирования?

6. В каких случаях необходим локальный контроль погрешности интегрирования, как он выполняется и каковы его преимущества?

Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 174 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

1 2 3 4 56

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2025 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав