Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

П.2. Комбинаторика.

Решая задачи по теории вероятностей, мы постоянно используем одну и ту же формулу, которая одновременно является классическим определением вероятности:

где k — число благоприятных исходов, n — общее число исходов И эта формула прекрасно работает до тех пор, пока задачи были легкими, а числа, стоящие в числителе и знаменателе — очевидными.

Однако последние пробные экзамены показали, что в настоящем ЕГЭ по математике могут встречаться значительно более сложные конструкции. Отыскание значений n и k становится проблематичным. В таком случае на помощь приходит комбинаторика. Ее законы работают там, где искомые значения не выводятся непосредственно из текста задачи.

Ниже мы рассмотрим простые правила и разберем конкретные задачи, которые встречаются на ЕГЭ.

П1. Число сочетаний и факториалы

Пусть имеется n объектов (карандашей, конфет, бутылок водки — чего угодно), из которых требуется выбрать ровно k различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется числом сочетаний из n элементов по k. Это число обозначается C_n^k и считается по специальной формуле.

Обозначение:

Выражение n! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = 1 · 2 · 3 ·... · n.

Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1 — подобный бред редко, но все же встречается в задачах по теории вероятностей.

Что дает нам эта формула? На самом деле, без нее не решается практически ни одна серьезная задача.

К сожалению, в школе совершенно не умеют работать с факториалами. Кроме того, в формуле числа сочетаний очень легко запутаться: где стоит и что обозначает число n, а где — k. Поэтому для начала просто запомните: меньшее число всегда стоит сверху — точно так же, как и в формуле определения вероятности (вероятность никогда не бывает больше единицы).

Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:

Задача1. У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими способами бармен может выполнить заказ?

Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать k = 3 сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:

Задача2. В группе из 40 студентов надо выбрать 5 представителей для выступления на конференции. Сколькими способами можно это сделать?

Задача3. На склад завезли 30 серверов с различными дефектами, которые стоят в 2 раза дешевле нормальных серверов. Директор купил в школу 25 таких серверов, а сэкономленные деньги купил тренажеры за 200 000 рублей. Сколькими способами директор может выбрать бракованные серверы?

Задача 4На столе лежат карандаши 12 различных цветов. Для обводки чертежа

студенту надо выбрать 4 из них. Сколько различных наборов карандашей

может выбрать студент?

Задача 5В холодильнике лежат 8 видов кошачьего корма в консервах, а на полке —

еще 3 вида сухого корма. Ежедневный рацион кота состоит из 3 различных

видов корма, причем коту безразлично, сухой это корм или в консервах.

Сколько существует различных способов накормить кота?

Задача 7Мальчик заходит в в ларек, где продается 40 марок газировки. Вечером этот

Мальчик отмечает день рожденья с друзьями, поэтому ему надо купить 8 бутылок газировки разных марок. Сколько вариантов сделать покупку есть у мальчика?

Далее, повторяем математику и решаем типовые задачи для сдачи экзамена:

1.Даны векторы (2;1) и (-1;1). Найти скалярное произведение 2.Даны векторы и . Найти скалярное произведение 3.Даны векторы (1;1) и (-5;2). Найти скалярное произведение

4.Определить площадь параллелограмма, построенного на векторах =(3;2;0), =(0;-1;1).

5.Определить площадь треугольника, построенного на векторах =(1;2;0), =(2;-1;3).

6.Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах =(2;1;2), =(-1;3;4), =(0;1;2).

7.Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах =(-1;1;0), =(3;1;1), =(0;-1;-2).

8.Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах =(-2;0;0), =(0;3;1), =(0;0;4).