Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Парадокс Бертрана

Пример 10 (Joseph Louis François Bertrand, "Calcul des probabilitiés", 1888).

В круге единичного радиуса наудачу выбирается хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет больше, чем длина стороны вписанного в круг правильного треугольника?

«Решение». Есть по крайней мере три способа «выбрать наудачу хорду в круге».

1.

Зафиксируем одну точку (конец хорды) на окружности и выберем наудачу на окружности другую точку (второй конец хорды). Здесь , а благоприятными являются положения второй точки на интервале (хорды, помеченные на рисунке красным цветом). Вероятность получить «длинную» хорду равна .

2.

Существует ровно одна хорда, для которой данная точка в круге является серединой . Можно поэтому выбирать наудачу хорду, бросая наудачу точку (середину хорды) в круг. Здесь — круг радиуса 1, , а благоприятными являются положения середины хорды внутри вписанного в треугольник круга (радиусом 1/2). Вероятность получить «длинную» хорду равна отношению площадей кругов, то есть .

3.

Наконец, можно ограничиться рассмотрением только хорд, перпендикулярных какому-либо диаметру (остальные могут быть получены поворотом). То есть эксперимент может состоять в выборе середины хорды наудачу на диаметре круга — отрезке длиной 2. Благоприятными являются положения середины хорды на отрезке длиной 1. Искомая вероятность для такого эксперимента равна .

В чем причина разницы в ответах на, казалось бы, один и тот же вопрос? На самом деле формулировка задачи не является корректной с математической точки зрения. «Выбор наудачу хорды в круге» может быть по-разному описан с помощью геометрического определения вероятности (что мы и сделали). То есть этот «эксперимент» можно по-разному описать с помощью выбора наудачу точки в некоторой области.

Слово «эксперимент» взято в кавычки не напрасно: сказав «в круге наудачу выбирается хорда», мы еще не описали физического эксперимента. Действительно, каждому из трех предложенных способов выбора хорд можно сопоставить конкретный физический эксперимент (всякий раз другой).

Так что парадокс исчезает сразу, как только получен ответ на вопрос: что значит «в круге наудачу выбирается хорда»?

Заканчивая обсуждение понятия геометрической вероятности, сделаем очень важное для дальнейшего замечание.