Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Сформулируйте теоремы о единственности предела функции, о пределе суммы, произведения и частного двух функций, следствия из них. Приведите доказательство одной из этих теорем.

Теорема (единственность предела) Если функция f в точке а имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство: метод от противного lim x → af (x)= b,lim x → af (x)= c, b /= c. Возьмем ε=∣ b − c ∣, по определению и свойству окрестности найдется выколотая окрестность т. а Uo (a,δ), в которой одновременно будут выполняться неравенства ∣ f (x)− b ∣<2∣ b − c ∣∣ f (x)− c ∣<2∣ b − c ∣, тогда в точках этой же

окрестности ∣ b − c ∣=∣(b − f (x))+(f (x)+ c)∣≤∣ f (x)− b ∣+∣ f (x)− c ∣<2∣ b − c ∣+2∣ b − c ∣=∣ b − c ∣ противоречие (от неправильно допущения)

Теорема. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x) ± g(x), причём

.

Теорема. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)×g(х), причем

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно,