Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Линии второго порядка – эллипс, гипербола и парабола – обладают общим свойством: отношение фокального расстояния точки линии (эллипса, гиперболы, параболы) к расстоянию от нее до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Введем полярную систему координат. Полюс – один из фокусов F (для эллипса – левый, для гиперболы – правый), полярная ось – фокальная, здесь одинаково направленная с Ох.

М (r, φ) – точка линии. Полярный угол точки М , ε – эксцентриситет линии.

Рассмотрим чертеж. Отметим точку М ₀ – пересечение линии и перпендикуляра к точке F, пусть FМ ₀ =р. По свойству точек линии: отношение расстояния FM от фокуса до точки линии к расстоянию r (M, d) от нее до соответствующей директрисы равно эксцентриситету e:

(1).

Отсюда . Для точки М ₀:

.

С другой стороны, расстояние ,

из D FNM: (объясните, почему), отсюда

(2).

Подставим полученное выражение (2) в равенство (1): . Откуда

. (3)

Если ε <1, то уравнение (3) определяет эллипс, а угол .

Если ε =1, то уравнение (3) определяет параболу, а угол .

Если ε >1, то уравнение (3) определяет гиперболу.

Обозначим угол между асимптотами j ₀, т.е. . Тогда для правой ветви гиперболы: угол , для левой ветви: .