Читайте также:
|
1. Уравнения ЛВП с осями симметрии, параллельными координатным осям.
Пусть имеются два прямоугольных репера. Найдем в старом репере уравнение эллипса с центром в точке О ¢, полуосями а и b, оси которого параллельны координатным осям, т.е. полученном при параллельном переносе. Пусть координаты нового начала координат О ¢(х 0; у 0) R. Тогда в новом репере уравнение эллипса:
.
По формулам параллельного переноса: 
получим:
. (4)
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, получим:
.
Введем соответствующие обозначения для коэффициентов при различных степенях неизвестных, получим уравнения вида:
(5)
Аналогичные преобразования можно выполнить для гиперболы и параболы. Коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
Теорема 1. Уравнение вида (5) всегда определяет: либо окружность (А=С), либо эллипс (АС> 0, т.е. А и С одного знака), либо гиперболу (АС< 0, т.е. А и С разных знаков).
Примечание. Возможны случаи, когда эллипс вырождается в точку или мнимый эллипс, гипербола – в пару пересекающихся прямых, парабола – в пару параллельных прямых:
2. Общее уравнение ЛВП, с осями симметрии, не параллельными координатным осям.
Рассмотрим случай расположения ЛВП относительно старого репера, когда ее оси симметрии не параллельны координатным осям, т.е. при повороте. Линии соответствует уравнение:
(6)
Это уравнение называется общим уравнением линии второго порядка.
Используем формулы поворота: 
Подставим их в уравнение (6) и выполним тождественные преобразования:
Выберем угол a так, чтобы коэффициенты при 
обратился в нуль, т.е.
.
Отсюда 
.
При повороте осей на угол, удовлетворяющий последнему условию, уравнение (6) приведется к уравнению (5).
Вывод. Общее уравнение второго порядка определяет на плоскости линию второго порядка.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 98 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |