Определение: переменная величина v называется функционалом функции y(x), записывается v[y(x)], если к каждой функции y(x) ставится в соответствие число v.
Можно сравнить y=y(x): число=число.
Пример:
Всем четным функциям ставится в соответствие 1;
Всем нечетным функциям ставится в соответствие 1;
Всем ни четным, ни нечетным функциям ставится в соответствие 0;
Будем иметь дело с непрерывными функционалами, и решать задачи типа:
1.Длина кривой:
Выражения одинаковые, но значения разные.
2.
при заданной функции: Д – это функционал.
Число S разное для разных z.
Таким образом, мы подошли к рассмотрению функционалов несколькихпеременных: 
Аналогично можно рассматривать функционалы нескольких функций: 
Зададим кривую в пространстве параметрическими уравнениями:
кривая в трехмерном пространстве.
Все формулы, которые мы будем изучать, имеют интегральную форму, потому что такие формулы приводят к дифференциальным уравнениям.
Несколько определений:
1. Приращением или вариацией 
y аргумента y(x) называется разность между двумя функциями: 
где y0(x) – некоторая фиксированная функция, а y(x) – произвольная.
В окрестности функции y0(x) 
.
2. Функционал 
называется непрерывным, если малому изменению y(x) соответствует малое изменение v.
Если в функционал входит 
, то малости 
обычно недостаточно, надо малость 
и т.д.
Кривая 
и 
близки в смысле близости k-го порядка, если все модули разностей 
- малы.
- близки в смысле близости 1-го порядка.
- близки в смысле близости 0-го порядка, т. к. у них направления касательной не близки.
Функционал непрерывен при 
в смысле близости k-го порядка, если для любого 
>0 существует >0 такие, что
при 
для 
3. Линейным называется функционал, если выполняется условие:
(обозначаются линейные функционалы: 
).
4.
- вариация аргумента.
- приращение функционала.
Если у нас есть функция 
и есть 
и 
(
когда 
) 
- дифференциал f, df.
Дифференциалом f называется главная часть приращения y, линейная по 
. Тогда, по аналогии, для приращения функционала, можно записать:
,(
при 
)
Тогда 
называется вариацией функционала и обозначается 
.
Альтернативный способ записи: 
Аналогично этому вариация функционала:
5. Функционал 
имеет max (min) на функции y0(x), если для любой функции y(x) вблизи y0(x) разность между и 
неотрицательна (не положительна):
Теорема: если функционал имеет max (min) (экстремален) на кривой y(x), то на этой кривой вариация функционала равна нулю, по аналогии с функциями, где производная или дифференциал равны нулю.
Доказательство: Все функции близкие к функции y0(x) можно представить в виде 
, при 
мы имеем экстремальную кривую y=y0(x), тогда функционал 
этот функционал имеет экстремум при , поэтому можно исследовать на экстремум не , а функцию 
, а эта функция экстремальна в точке, где 
или 
.
, т. е. 
на y0(x).
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 39 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Вторая вариация и условие Лежандра. | | | Функционалы, зависящие от нескольких функций. |