|
Читайте также: |
Задача отыскания условий, достаточных для существования экстремума, тесно связана с вопросом о классификации экстремумов. Понятие о различных видах экстремума складывалось в математике постепенно. Различие между абсолютным и относительным экстремумами было замечено в конце XVIII в. Различие между сильным и слабым экстремумами было обнаружено только во второй половине XIX в. Формирование этих понятий происходило в связи с рассмотрением новых вариационных задач.
В конкретных вариационных задачах, которые рассматривались на первых этапах развития вариационного исчисления, физические, механические или геометрические соображения обычно давали возможность установить, что кривая, полученная как решение уравнения Эйлера, дает экстремум и что это абсолютный экстремум. Это заключение распространялось на все вариационные задачи.
Между тем появился ряд вариационных задач, рассмотрение которых ставило под сомнение справедливость этих взглядов. Прежде всего, опровергалось представление о том, что экстремум, который дает кривая, удовлетворяющая уравнению Эйлера, является абсолютным.
В 1786 г. А. М. Лежандр в «Мемуаре о способе различения максимумов и минимумов в вариационном исчислении» нашел критерий, позволяющий установить, дает ли кривая, удовлетворяющая уравнению Эйлера, экстремум рассматриваемому интегралу, и различить, имеют место максимум или минимум. Лежандр использовал аналогию с дифференциальным исчислением. Именно для того, чтобы функция достигла минимума в некоторой точке, достаточно, чтобы в этой точке выполнялись условия:
Лежандр также исходит из того, что для того, чтобы интеграл достигал минимума на некоторой кривой, достаточно, чтобы на этой кривой выполнялись условия:
, 
.
В итоге, он сделал вывод: для того чтобы экстремаль давала минимум рассматриваемому интегралу, достаточно, чтобы выполнялось условие
(для максимума достаточно 
).
Решающее возражение против теории Лежандра выдвинул Лагранж в своей «Теории аналитических функций» (1797). Он заметил, что Лежандр опирался на то, что если подынтегральная функция на некотором отрезке имеет постоянный знак, то и интеграл на этом отрезке имеет тот же знак. Лагранж отметил, что утверждение Лежандра справедливо, если подынтегральная функция конечна.
Таким образом, вопрос об общем критерии существования экстремума в вариационном исчислении в конце XVIII в. оставался нерешенным.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 93 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Создание метода вариаций | | | Вариационное исчисление. |