Читайте также:
|
виду.
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей 
.
Это симметрическое преобразование можно записать в виде:
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a12x1 + a22x2
где у1 и у2 – координаты вектора 
в базисе 
.
Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде
Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.
Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение 
.
Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
.
При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным 
и 
. Тогда:
Тогда 
.
Выражение 
называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.
Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Ф(х1, х2) = 27 
.
Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.
Составим характеристическое уравнение: 
;
(27 - l)(3 - l) – 25 = 0
l2 - 30l + 56 = 0
l1 = 2; l2 = 28;
Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:
17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.
Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А = 
Составим характеристическое уравнение: 
(17 - l)(8 - l) - 36 = 0
136 - 8l - 17l + l2 – 36 = 0
l2 - 25l + 100 = 0
l1 = 5, l2 = 20.
Итого: 
- каноническое уравнение эллипса.
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы 
: при 
Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6.
Найдем координаты собственных векторов:
полагая m1 = 1, получим n1 = 
полагая m2 = 1, получим n2 = 
Собственные векторы: 
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы 
: при 
Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.
Найдем координаты собственных векторов:
полагая m1 = 1, получим n1 = 
полагая m2 = 1, получим n2 = 
Собственные векторы: 
Находим координаты единичных векторов нового базиса.
Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:
Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.
4ху + 3у2 + 16 = 0
Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.
Характеристическое уравнение: 
Корни: l1 = -1, l2 = 4.
Для l1 = -1 Для l2 = 4
m1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2;
= (1; -0,5) 
= (1; 2)
Получаем: 
-каноническое уравнение гиперболы.
При использовании компьютерной версии “ Курса высшей математики ” возможно запустить программу, которая решает рассморенные выше примеры для любых начальных условий.
Комплексные числа.
Определение. Комплексным числом z называется выражение 
, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b - мнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 91 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |