Студопедия
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.

Читайте также:
  1. Виды диспозиций норм права, их краткая характеристика и примеры. определение.
  2. Виды санкций норм права, их краткая характеристика и примеры. определение.
  3. Визначення числа робочих місць з оброблення поштових відправлень
  4. Выбор числа котлов с учётом условий их работы в неотопительном периоде и требований аварийного резервирования
  5. ГАЛАКТИЧЕСКИЕ НАСТАВНИКИ И ЧИСЛА СУДЬБЫ
  6. Глава 3. Комплексное обследование детей с ринолалией
  7. Действия с приближенными числами
  8. Завдання комплексної перевірки знання студентів.
  9. Задание 2. Экспериментальная проверка формулы (5) для числа m зон Френеля, открываемых отверстием радиуса r
  10. Задача №1. Длины диагоналей ромба пропорциональны числам 3 и 4, его сторона равна 20 см. Найти: а) длины диагоналей; б) радиус окружности, вписанной в ромб.

 

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

 

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

 

 

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.


у

 

A(a, b)

 

 

r b

j

 

0 a x

 

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма числа.

 

Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

 

.

 

Из геометрических соображений видно:

 

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

 

 

Действия с комплексными числами.

 

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

 

1) Сложение и вычитание.

 

 

2) Умножение.

 

В тригонометрической форме:

,

 

С случае комплексно – сопряженных чисел:

 

3) Деление.

 

В тригонометрической форме:

 

 

4) Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,

 

где n – целое положительное число.

 

Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

 

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

 

Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.

 

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

 

 

5) Извлечение корня из комплексного числа.

 

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

 

 

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

 

 

Показательная форма комплексного числа.

 

Рассмотрим показательную функцию

 

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

 

Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См.).

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

 

1)

2)

3) где m – целое число.

 

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

 

Из этих двух уравнений получаем:

 

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

 

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

 

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

 

Разложение многочлена на множители.

Определение. Функция вида f(x) называется целой рациональной функцией от х.

 

Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)

При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a).

 

Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет многочлен f1(x) степенина единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.

Переходя к пределу при х ® a, получаем f(a) = R.

 

Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка.

 

Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.

 

Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.

 

Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xn.

 

Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

 

Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:

ki - кратность соответствующего корня.

 

Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).

Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.

 

Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.

 

 

Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения

 

 

a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:

 

 

Далее производим деление двух комплексных чисел:

 

 

Получаем значение заданного выражения: 16(- i)4 = 16 i 4 =16.

 

 

б) Число представим в виде , где

 

Тогда .

 

Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра.

 

 

Если , то

 

 




Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 78 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор . | Кривая второго порядка может быть задана уравнением | Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью. | Уравнение прямой в пространстве по точке и | Уравнение прямой в пространстве, проходящей | Условия параллельности и перпендикулярности | Условия параллельности и перпендикулярности | Условия параллельности и перпендикулярности | Связь сферической системы координат с | Собственные значения и собственные векторы |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2025 год. (0.018 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав