Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вектор-потенциал

Материал, изложенный в нижеследующем параграфе, обычно не принято помещать в курс общей физики. Нам, однако, представляется, что экономия в объеме и сложности ряда последующих вычислительных процедур оказывается столь значительной, что правдывает такое начинание. (То же самое можно сказать и об операциях векторного дифференцирования. Они позволяют представить уравнения поля в чрезвычайно компактной и наглядной форме, существенно упрощают многие доказательства и выводы, и потому, на наш взгляд, стоит как можно раньше преодолеть некоторые трудности, связанные с освоением этого аппарата.)

Мы уже могли оценить, сколь конструктивным оказалось в электростатике понятие электрического потенциала. Определение его было дано в формулах (1.16), (1.17), а основное уравнение, которому потенциал подчиняется как функция точки, — (1.19). Правда, определение давалось для системы дискретных точечных зарядов, а уравнение соответствует описанию зарядового распределения непрерывной функцией р(г). Но все проблемы снимаются простым обобщением определения (1.16), (1.17):

. (4.14)

Теперь попробуем подобным же образом ввести функцию, порождающую магнитное поле. Только, в отличие от электростатики, источником будет не скаляр р, а вектор j. Рассмотрим некоторую проводящую среду с распределением плотности тока j (г). Введем вектор А с компонентами

(4.15)

Сравнивая (4.14), (4.15) и выражение для электрического потенциала (1.19), нетрудно убедиться, что компоненты вектора А должны удовлетворять уравнению Пуассона:

(где к = х, у, z), что обычно принято записывать в виде

. (7.16)

Векторная величина А и называется вектор-потенциалом. Но это название имеет смысл лишь в том случае, если эта функция и в самом деле порождает вектор магнитного поля. Чтобы в этом убедиться, вычислим прежде всего дивергенцию вектор-потенциала:

.

Мы преобразовали последний интеграл по теореме Гаусса. Поскольку объемное интегрирование предполагается по всей проводящей среде, где j /= 0, постольку поверхностный интеграл должен браться по поверхности всех проводников, где, однако, j|_ = 0, а потому равен нулю и весь интеграл. Таким образом,

divA = 0.

Но тогда имеет место следующее соотношение (см. предыдущий параграф):

rot rot A = VdivA - V² А = - V²А,

так что мы можем заменить левую часть в уравнении Пуассона (4.16) для

вектор-потенциала:

rot (rot A) = j.

Сравнивая этот результат с дифференциальной формой теоремы о циркуляции (4.12), получаем окончательный ответ:

Н = rotA. (4.17)

Мы имеем возможность еще раз убедиться в различной векторной природе электрического и магнитного полей. Если статическое электрическое поле представимо как градиент некоторой скалярной функции (такие поля называют потенциальными), то магнитное поле в вакууме есть ротор некоторой векторной функции. Поля такого рода принято называть соленоидальными.

Скалярный электрический потенциал определен, как и потенциальная энергия, с точностью до константы. Произвол в определении вектор-потенциала больше: поскольку ротор градиента любой скалярной функции тождественно равен нулю, то и величина А определена с точностью до ▼ψ,

где ψ(r) — произвольная скалярная функция. Наблюдаемой же (измеряемой) величиной остается поле Н, т. е. ротор вектор-потенциала. Мы не будем, однако, углубляться в этот вопрос, потому что данное выше определение (7.15)—(7.17) вполне корректно и для целей нашего курса достаточно.