Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Введение понятий комплексного сопротивления и комплексной проводимости означает, по-существу, введение закона Ома в комплексной форме для установившегося синусоидального режима

или.

Комплексная амплитуда напряжения на зажимах пассивного двухполюсника равна комплексной амплитуде тока, умноженной на комплексное сопротивление двухполюсника.

Пример 1. Через зажимы двухполюсника с комплексным сопротивлением Z=40e^j30 Ом протекает синусоидальный ток i =3 Sin (314 t + 15^o) A. Определить напряжение u(t) на зажимах двухполюсника.

Решение.

Находя комплексную амплитуду тока и зная комплексное сопротивление двухполюсника, на основании закона Ома в комплексной форме определяем комплексную амплитуду напряжения

Следовательно, мгновенное напряжение равно u=120 Sin (314 t + 45^o), B.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: Сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю, т.е.

.

Поскольку каждое слагаемое в представленном выражении есть вектор, то результат есть сумма векторов. Это обстоятельство позволяет контролировать аналитические расчеты наглядными графическими построениями - векторными диаграммами.

Пример 2. В узле электрической цепи сходятся 3 ветви с синусоидальными токам одной частоты (рис.3.3,а).

Мгновенные значения токов i ₂ и i ₃ определяются выражениями i₂= 100 Sin(100t-45^o) и i₃= 50 Sin(100t+30^o). Требуется определить ток i₁, пользуясь методом комплексных амплитуд.

Решение.

На основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме находим

, где ,

Тогда

Построив вектора токов на комплексной плоскости (рис.3.3,б), убеждаемся, что сумма их действительно равна 0.

Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим i₁= 101 Sin(100t-74^o), А.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме - в установившемся синусоидальном режиме сумма комплексных амплитуд ЭДС источников напряжений в контуре равна сумме комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура. Если контур содержит N источников напряжений и L пассивных элементов, то математически это положение формулируется следующим образом:

.

Пример 3. Известны мгновенные значения напряжений на элемен-тах контура (рис.3.4,а) u₁= 10 Sin(100t-45^o) B, u₂= 25 Sin(100t+30^o)B, u₃= 5 Sin(100t+60^o)B. Требуется определить мгновенное значение ЭДС источника напряжения.

Решение.

На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и ЭДС находим e = u₁+ u₂+ u₃.

Переходя к комплексам, получим

, где

; ;

Следовательно,

=

Построив вектора напряжений на комплексной плоскости (рис.3.4,б) убеждаемся, что сумма их действительно равна вектору ЭДС. Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим e = 32.3 Sin(100t+18^o), В.