Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 10. Меры парной связи, основанные на рангах

Опр. Ранжирование — это процедура упорядочивания любых объектов по возрастанию или убыванию некоторого их свойства при условии, что они этим свойством обладают.

Например, можно ранжировать респондентов по степени удовлетворенности чем-то, по их политической активности, по их материальному положению. Можно ранжировать государства по уровню жизни, по уровню рождаемости, по уровню безработицы и т. д.. Профессии — по престижности, товары — по предпочтению потребителей.

Объектами ранжирования являются те объекты, которые непосредственно упорядочиваются.

Основание ранжирования или (ранжирующий признак) — это то свойство, по которому объекты упорядочиваются.

В результате ранжирования получаем ранжированный ряд, в котором каждому объекту приписывается ранг.

Ранг — это место объекта в ранжированном ряду.

Число мест и соответственно число рангов равно числу объектов.

Ранжированные ряды могут быть двух видов:

1. Каждый объект имеет значение признака, отличное от значений признака для других объектов, тогда каждому объекту ранжированного ряда соответствует свой собственный, отличный от другого ранг.
2. Несколько объектов имеют одинаковые значения признака, тогда этим объектам в ранжированном ряду соответствуют одинаковые ранги, рассчитываемые по определенной формуле. В этом случае ранжированный ряд называется ранжированным рядом со связанными рангами.

Пример 1: В качестве ранжируемых объектов выступают 9 государств. Рассматриваются 2 признака:

1. (Х) показатель качества жизни (коэффициент).

2. (У) уровень безработицы, измеряемый в %.

Необходимо проранжировать государства по двум выделенным признакам.

Ранги присваиваются в порядке убывания значения признака, т. е. 1 соответствует н6аибольшему значению, а 9 — наименьшему.

Пример 2. Ранжированный ряд со связанными рангами.

Для семи работников предприятия определялся показатель удовлетворенности работой (индекс). Необходимо проранжировать работников предприятия по их удовлетворенности работой.

Работники (Б и В) и (Д, Е, Ж) имеют одинаковые показатели удовлетворенности работой, следовательно, им необходимо присвоить связанные ранги.

Для индекса 0,41 (Д, Е, Ж) ранг рассчитывается следующим образом:

(2+3+4)/3 = 3.

Для индекса 0,35 (Б и В) ранг рассчитывается следующим образом:

(5+6)/2=5,5.

Всего семь объектов, значит, в ранжированном ряду должно быть семь рангов.

Установление наличия связи для двух и более ранжированных радов осуществляется с помощью ранговых коэффициентов связи.

Опр. Ранговыми коэффициентами связи называются меры связи, позволяющие вычислять степень согласованности в ранжировании одних и тех же объектов по двум различным основаниям или по двум различным признакам.

Существует несколько коэффициентов (мер связи), предназначенных для изучения степени согласованности ранжированных рядов.

Наиболее распространенным является коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Допустим, что N объектов могут быть упорядочены как по признаку Х, так и по признаку У.

Пусть R^x_i – ранг i-го объекта по признаку Х

R^y_i – ранг i-го по признаку У, тогда

d_i = R^x_i - R^y_i — мера несовпадения рангов.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена будет иметь вид:

6 ∑ d_i ²

ρ = 1– ----------------

N (N² -1)

Примеры

Пример 1.

Sd_i² = 210,

r = 1– 6*210/ 9(81 – 1) = – 0,75

Связь существует, связь сильная и обратная.

Осуществим проверку статистической гипотезы о значимости коэффициента ранговой корреляции Спирмена для ГС.

Коэффициент значим, если его значение для генеральной совокупности отлично от нуля.

H₀: r = 0

H₁:r¹ 0

Вычислим статистику критерия

по формуле статистического критерия t_H = ρÖ(n -2)/(1 - r²)

t_H = –0,75 Ö (9–2)/(1 – 0,75²) = -2,65

Определим значения критической точки по статистической таблице распределения t-Стьюдента при a = 0,05.

Число степеней свободы определим по формуле df= n-2

t _кр = t _(0,975;7) = 2,36

|t_H | > t _кр Þподтвердилась H₁ и коэффициент значим для ГС