Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вероятность.

Цель: научиться вычислять вероятности событий, используя классическое и геометрическое определения вероятности, а также основные свойства вероятности и правила сложения вероятностей событий.

Студент должен знать:

– понятие вероятности, благоприятного (благоприятствующего) исхода;

– классическое, геометрическое, аксиоматическое определения вероятности;

– свойства вероятности.

Студент должен уметь:

– определить, каким из определений вероятности необходимо воспользоваться в предложенной ситуации;

– пользоваться свойствами вероятности.

При решении задач на нахождение вероятностей событий можно придерживаться следующих схем.

Схема решения задач на классическое определение вероятности.

1. Выделить описание эксперимента и описание события, вероятность появления которого необходимо оценить.

2. Проверить условия применимости классического определения, а именно:

а) число элементарных исходов конечно;

b) все исходы равновозможны.

3. Определиться, что является элементарным исходом эксперимента? Ответ на этот вопрос желательно дать на языке комбинаторики. Если ответ получен, то и следующий вопрос затруднений не вызовет.

4. Сколько всего элементарных исходов у данного эксперимента?

5. Определиться, что является благоприятствующим исходом? Ответ на этот вопрос дать на языке комбинаторики.

6. Сколько благоприятствующих исходов у данного эксперимента?

7. По формуле классического подсчета вероятности определить необходимую нам вероятность.

При решении задач на геометрическое определение вероятности используется следующий алгоритм:

1. Выделить описание эксперимента и описание события, вероятность появления которого необходимо оценить.

2. Проверить условия применимости геометрического определения, а именно:

а) число элементарных исходов бесконечно;

b) все исходы равновозможны.

3. Определиться, что является элементарным исходом эксперимента? Ответ на этот вопрос желательно дать на языке геометрии. Если ответ получен, то и следующий вопрос затруднений не вызовет.

4. Сколько всего элементарных исходов у данного эксперимента?

5. Определиться, что является благоприятствующим исходом? Ответ на этот вопрос дать на языке геометрии.

6. Сколько благоприятствующих исходов у данного эксперимента?

7. По формуле геометрического подсчета вероятности определить необходимую нам вероятность как отношение соответствующих мер.

Примеры решения задач.

1. На классическое определение вероятности с использованием комбинаторики.

В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них случайным образом может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пассажиры выйдут на разных этажах.

Решение. Определимся, что же является в данной задаче экспериментом, а что благоприятствующим событием. Эксперимент заключается в том, что три человека должны выйти на каком-либо из шести этажей семиэтажного дома, начиная со второго. Благоприятствующее событие А заключается в том, что все три пассажира должны выйти на разных этажах.

Как видим, все исходы задачи являются равновозможными (каждый из пассажиров может одинаково выйти как, например, на третьем этаже, так и на пятом) и количество их конечно, так как множества людей и этажей счетны. Таким образом, выполнены все условия для применения классического определения вероятности. Найдем число благоприятствующих исходов и общее число исходов. Для этого воспользуемся формулами комбинаторики.

Определим общее число исходов. На каждом из семи этажей может выйти как по одному пассажиру, так и два + один, и даже все три. Таким образом, мы имеем дело с комбинаторикой с повторениями. Теперь определим тип соединения. Во-первых, на любом из шести этажей выходят три человека, т.е., имеем выборку три из шести. Во-вторых, так как для нас важно кто из пассажиров и на каком этаже вышел, т.е. в данном случае нас интересует как порядок, так и состав элементов, входящих в соединение, то мы имеем дело с размещениями с повторениями. Следовательно, общее число исходов опыта

.

Число благоприятствующих исходов подсчитывается аналогично. Только следует иметь ввиду, что мы должны будем отобрать только те исходы, когда все три пассажира выходят на разных этажах, т.е., воспользуемся формулой подсчета числа размещений без повторений

.

А теперь рассчитаем вероятность того, что все три пассажира выйдут на разных этажах как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов

Ответ. 0, 56.

2. На классическое определение вероятности и свойства вероятности.

Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 — вторых, 100 — третьих и 1000 — четвертых. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10000 покупателей. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) выиграет 1-й приз; б) выиграет хотя бы один приз; в) не выиграет ни одного приза?

Решение. а) Определим событие А = {покупатель выиграл 1-й приз}. Согласно условию задачи, в лотерее участвовало 10000 покупателей, отсюда получаем общее число испытаний n = 10000, а число исходов, благоприятствующих событию А, n_А= 1. Все исходы являются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следовательно, по формуле классической вероятности:

б) Определим событие В = {покупатель выиграл хотя бы один приз}. Это означает, что покупатель может выиграть как один, так и несколько призов, разыгрываемых в лотерее, то есть число исходов, благоприятствующих событию В: n_В = 1 + 5 + 100 + 1000 = 1106. Общее число испытаний осталось неизменным. Таким образом,

.

в) Событие {покупатель не выиграет ни одного приза} является противоположным событию В = {покупатель выиграет хотя бы один приз}, поэтому обозначим его как . Используя свойство вероятности, найдем вероятность противоположного события

.

Ответ: Вероятность того, что покупатель выиграет 1-й приз равна 0,0001, один приз – 0,1106, не выиграет ни одного приза – 0,8894.

3. На правило сложения вероятностей несовместных событий.

Компания производит 40000 холодильников в год, которые реализует в различных регионах России и зарубежья. Из них 10000 экспортируются в страны СНГ, 8000 продаются в регионах Европейской части России, 7000 продаются в страны дальнего зарубежья, 6000 в Западной Сибири, 5000 в Восточной, 4000 в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: а) произведен на экспорт; б) продан в России?

Решение. Обозначим события:

A – «Холодильник продан в страны СНГ»;

B – «Холодильник будет продан в Европейской части России»;

C – «Холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья»;

D – «Холодильник будет продан в Западной Сибири»;

E – «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»;

F – «Холодильник будет продан в Дальневосточном районе».

Тогда, вероятность того, что холодильник будет продан в страны СНГ:

;

вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России:

;

вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья:

;

вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири:

;

вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири:

;

вероятность того, что холодильник будет продан на Дальнем Востоке:

.

Все события A, B, C, D, E, F – несовместные.

1) Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что он будет продан или в страны СНГ, или в страны дальнего зарубежья, т.е., необходимо найти вероятность события (А + С). Воспользуемся правилом нахождения вероятности двух несовместных событий:

2) Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнем Востоке. По формуле вероятности суммы несовместных событий имеем:

Этот же результат можно получить, исходя из того, что события «Холодильник произведен на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» являются противоположными. Тогда по свойству вероятности двух противоположных событий имеем:

4. На правило сложения вероятностей совместных событий.

Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 52 карты. Чему равна вероятность того, что это будет или туз, или карта масти треф?

Решение. Определим события: А = {извлечен туз}, В = {извлечена карта трефовой масти}. Найдем вероятности этих событий.

Так как события А и В – совместные (в колоде есть трефовый туз), то вероятность искомого события будет вычисляться по правилу нахождения суммы двух совместных событий, а следовательно, необходимо знать вероятность одновременного появления событий А и В. Так как в колоде из 52 карт один туз трефовой масти, то .

Таким образом, вероятность искомого события

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=4/52+13/52-1/52=4/13

Ответ. 4/13.

5. На геометрическое определение вероятности.

Задача1. Ромео и Джульетта договорились встретиться в определенном месте между двенадцатью часами и часом дня. Необходимо найти вероятность встречи, если приход каждого из них в течение указанного часа происходит наудачу, причем известно, что Ромео ждет Джульетту ровно 20 мин, а Джульетта Ромео —5 мин.

Решение. Эксперимент заключается в том, что Ромео и Джульетта должны придти на встречу в определенный промежуток времени: между двенадцатью часами и часом дня. Событие состоит в том, что встреча произойдет, при условии, что приход каждого из них в течение указанного часа происходит наудачу, причем известно, что Ромео ждет Джульетту ровно 20 мин, а Джульетта Ромео —5 мин.

Так как число всех исходов подсчитать достаточно сложно, но все они равновозможны, воспользуемся геометрическим определением вероятности. Обозначим момент прихода Ромео через х, а Джульетты — через у. Тогда любой элементарный исход ω в данной задаче можно отождествить с некоторой точкой (х; у) на плоскости хОу. Выберем за начало отсчета 12 часов, а за единицу измерения 1 минуту и построим на плоскости хОу пространство элементарных исходов Ω. Это будет квадрат со стороной 60.

Событие А (Ромео и Джульетта встретятся) произойдет тогда, когда разность у – х не превысит 20, а разность х – у не превысит 5, т.е., условие встречи определяет систему неравенств

у

60 А

20 Ω

0 5 60 х

Область А элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, представляет собой на рисунке полосу. Ее площадь можно найти как площадь квадрата без двух угловых треугольников, т.е.,

Тогда, согласно геометрическому определению вероятности, находим

.

Ответ. 0,36.

Задача 2. Какова вероятность того, что корни уравнения будут действительными, если коэффициенты p и q уравнения выбираются наудачу из отрезка ?

Решение. Будем рассматривать множество всех возможных пар чисел как координаты точек единичного квадрата с вершинами (0,0), (0,1), (1,1), (1,0). Поэтому .

Корни уравнения действительны, если выполняется неравенство , т.е. . Отсюда ясно, что множество точек квадрата, благоприятствующих событию А ={корни уравнения действительны}, есть область D (на рисунке область D находится внутри квадрата под веткой параболы):

. q

1 Ω

¼ _______ D

0 1 p

Искомая вероятность равна

.

Ответ: 1/12.

Контрольные вопросы для самоподготовки.

1. Что называют вероятностью события?

2. Что называют вероятностным пространством?

3. Приведите классическое определение вероятности.

4. Приведите геометрическое определение вероятности.

5. Приведите статистическое определение вероятности.

6. Как можно задать вероятность в случае конечного пространства элементарных исходов?

7. Как можно задать вероятность на числовой прямой?

8. Перечислите основные свойства вероятности.

9. Сформулируйте правило сложения вероятностей событий.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что, случайно набирая цифры, можно угадать нужный код?

2. Восемь друзей распределяют места за круглым столом по жребию. Какова вероятность того, что два из них, а именно А и В будут сидеть рядом?

3. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает 3 вопроса? 2 вопроса? 1 вопрос?

4. 12 человек, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице, в которой есть один 4-местный, два 3-местных и один 2-местный номер. Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в двухместный номер?

5. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

6. В шкафу находятся 10 пар ботинок. Из них наугад выбирают четыре ботинка. Найти вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные?

7. Некто купил карточку «Спортлото 6 из 49» и отметил в ней шесть из имеющихся 49 номеров. В тираже разыгрываются шесть «выигрышных» номеров. Найдите вероятности следующих событий: А – угадано три номера; В – угадано четыре номера; С – угадано шесть номеров.

8. Десять студентов договорились о поездке за город, но не договорились о вагоне. Любой из студентов наугад может сесть в любой из десяти вагонов поезда. Какова вероятность того, что все они попадут в разные вагоны?

9. В отделение связи поступило шесть телеграмм. Телеграммы случайным образом распределяют по четырем каналам, причем каждая телеграмма может быть передана по любому из четырех каналов. Найдите вероятность того, что на первый канал попадут три телеграммы, на второй – две телеграммы, на третий – одна телеграмма и четвертый канал не будет загружен?

10. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны пять деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей две окажутся бракованными?

11. Предприниматель решил вложить свои средства поровну в два контракта, каждый из которых принесет ему прибыль в размере 100%. Вероятность того, что любой из контрактов не «лопнет», равна 0,8. Какова вероятность того, что по истечении контрактов предприниматель по меньшей мере ничего не потеряет?

12. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный – в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет – в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.

13. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по каждому из трех центральных телевизионных каналов, равна 0,05. Предполагается, что эти события – независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу по всем трем каналам? Хотя бы по одному из каналов?

14. Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0,5, только пакет программ –0,1. Вероятность того, что будет куплен и компьютер, и пакет программ, равна 0,05. Чему равна вероятность того, что будет куплен или компьютер, или пакет программ, или компьютер и пакет программ вместе?

15. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с первого, пять со второго, семь с третьего и четыре с четвертого. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или с третьего склада?

16. Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. С какой вероятностью можно избежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут?

17. Какова вероятность того, что произведение двух наугад взятых правильных положительных дробей будет не больше ¼?

18. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов не зависит друг от друга и равновозможно в любой промежуток времени длительностью 3 часа. Сигнализатор срабатывает, если интервал между моментами поступления сигналов менее 0,15ч. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает в течение 3 часов, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

19. Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19.00 до 20.00. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся.

20. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Моменты времени прихода обоих пароходов независимы и равновозможны в течение данных суток. Найти вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – 1 час, а второго – 2 часа.

21. Расстояние от пункта А до пункта В пешеход проходит за 20 минут, а автобус – за 2 минуты. Интервал движения автобусов 30 минут. Пешеход в случайный момент времени отправляется из А в В. Какова вероятность того, что его в пути догонит автобус?

22. Задача-шутка.

На дне глубокого сосуда

Лежат спокойно n шаров,

Поочередно их оттуда

Таскают двое дураков.

Сие занятье им приятно,

Они таскают m минут

И, взявши шар, его обратно

В сосуд немедленно кладут.

Ввиду условия такого

Сколь вероятность велика,

Что первый был глупей второго,

Когда шаров он вынул k?