Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Предельный переход в неравенствах для числовых последовательностей.

Теорема 1. Пусть - сходящаяся последовательность и . Тогда .

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Обозначим . Тогда утверждение, противоположное доказываемому, имеет вид:

.

Возьмем . Тогда, по определению, предела последовательности, можно написать

.

Последнее неравенство распишем в виде двойного

Но так как , то и получается что , что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если и сходящиеся последовательности и , то

.

Доказательство дается следующей цепочкой следствий

=> => =>

=>

Важное замечание. Допустим, что в условии теоремы вместо мы написали . Можно ли утверждать, что ?

Ответ отрицательный. Действительно, пусть, например, . Тогда , но .

Таким образом, итог этой теоремы и замечание выглядит так: в неравенствах допустим предельный переход, надо только иметь ввиду, что после предельного перехода строгое неравенство (типа > или <) может замениться на нестрогое

(> перейдет в , < перейдет в ).

Теорема 2. Пусть

1. и сходящиеся последовательности;
2. ;
3. 

Тогда также сходящаяся последовательность и .

Доказательство:

=>

или

=>

или .

Беря и учитывая, что можно записать

.

Выбрасывая лишнее, получим что

или ,

что и говорит о том, что .

Эту теорему часто называют “теоремой о двух милиционерах” (, - милиционеры, - преступник, которого они “берут в клещи”).