Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Приведем свойства функций непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной). Предварительно уточним понятие области.

Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойством открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Свойствосвязности: любые две точки этой области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Точка называется граничной точкой области , если она не принадлежит , но в любой окрестности лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области называется границей . Области с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается, обозначается . Область называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому кругу радиуса . В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной – - окрестность точки .

Теорема 1.1. Если Функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области:

а) ограничена, т.е. существует число , что для всех точек в этой области выполняется неравенство ;

б) имеет точки, в которых принимает наименьшее и наибольшее значения;

г) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение. Заключенное между и .

Теорема дается без доказательмтва.