Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

c ≤ λ ≤ d, a ≤ x ≤ b.

Найдем производную от интеграла по параметру λ.

.

Последняя формула называется формулой Лейбница.

(2)

Можно показать, что производная от интеграла (2) по параметру α имеет вид

С помощью формулы Лейбница можно вычислить некоторые определенные интегралы.

П р и м е р 1. Вычислить интеграл

Интеграл не берется.

Остается определить С. Для этого заметим, что

Подставив в равенстве (*) λ = 0, получим 0 = arctg 0 + C. Отсюда С = 0.

Следовательно, для любого значения λ имеет место равенство I(λ) = arctg λ, т.е.

П р и м е р 2. Гамма-функция. Это неэлементарная функция, введенная Эйлером в 1729 г.

(1)

Покажем, что этот несобственный интеграл сходится при p > 0. Представим интеграл в виде суммы

Первый интеграл в правой части – это интеграл от неограниченной функции, если p - 1 < 0. Он сходится, т.к. 0 < e^-x ≤ 1 и

Второй интеграл тоже сходится. Действительно, пусть n – целое число, такое, что n > p – 1. Тогда, очевидно,

Рассмотрим интеграл . Вычисляя этот интеграл n разпо частям с учетом того, что

(2)

можно доказать, что он сходится. Следовательно, интеграл (1) сходится при p > 0.

Эта функция часто используется в приложениях. Найдем значения Γ(p) при целых p. При p = 1 имеем

Пусть p > 1. интегрируем по частям

u = x ^{p – 1}, d v = e ^–xdx,

du = (p – 1)x ^{p – 2}dx

Γ(p)

Γ(2) = 1, Γ(3) = 2∙1 = 2!, Γ(4) = 3∙Γ(3) = 3∙2∙1 = 3!,.... Γ(n) = (n – 1)!