Читайте также:
|
Решение.
.
Интегрирование по частям в определенном интеграле осуществляется по формуле:
.
Пример. Вычислить 
.
Решение.
Геометрические приложения определенного интеграла
Определенный интеграл 
от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, то есть фигуры, ограниченной графиком функции 
, двумя прямыми 
, 
и осью 
.
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла 
.
Если 
, то площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции, двумя прямыми , и осью , находится по формуле 
.
Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху и снизу соответственно линиями 
, 
, слева и справа – прямыми 
и 
, определяется формулой:
.
Например, вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
. Для построения фигуры найдем точки пересечения этих линий, решим систему:
, 
.
Откуда 
, 
и 
, 
. Выполним чертеж фигуры.
Находим искомую площадь 
:
(кв. ед. изм.).
Если плоская фигура имеет сложную форму, то ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить уже известные формулы.
С помощью определенного интеграла можно найти длину дуги 
для кривой 
с ограничениями 
по формуле 
.
Пусть тело получено вращением криволинейной трапеции , , 
, 
вокруг оси . В этом случае поперечными сечениями будут круги с радиусами, равными 
, имеющими площадь 
.
Объем полученного тела вращения находится по формуле:
.
Например, найти объем тела, образованного вращением эллипса 
вокруг оси . Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти половину искомого объема. По формуле для нахождения объема тела вращения вокруг оси имеем:
.
Тогда искомый объем 
(куб. ед. изм.).
Также можно найти с помощью определенного интеграла площадь поверхности указанного тела вращения по формуле:
.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 55 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |