Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Корпускулярно- волновой дуализм. Уравнение Шредингера

Лекция № 14

Гипотеза де Бройля. Ранее мы установили, что свет обладает одновременно и свойствами непрерывной достаточно протяженной волны и свойствами частиц (фотонов), т.е. имеет дискретную (прерывистую структуру), эти противоположные свойства составляют единство в световой волне, что позволяет говорить о корпускулярно- волновом дуализме свойств световой волны. В проявлении этих противоположных свойств имеется определенная закономерность - с уменьшением длины волны (увеличением частоты) все более отчетливей проявляются квантовые свойства света. В связи с этим уместно было бы говорить о корпускулярно -волновом дуализме не только световых волн, но и любых волн, даже в том случае, когда эти свойства –(волновые или корпускулярные) трудно или невозможно обнаружить. Если представить себе фотон, как частицу, обладающую волновыми свойствами, то нет причин, отрицающих волновые свойства для лю­бых частиц, являющихся микроскопическими в данной задаче. В 1924 году французский физик, Луи де Бройль пришел к выводу о том, что корпускулярно волновая природа характерна не только для электромагнитных волн, но и для любых движущихся частиц вещества. Выражение для им­пульса фотона дe Бройль обобщил для любых волновых процессов, связанных с движущимися частицами, обладающими импульсом :

(14.1)

Формула (14.1) называется формулой де Бройля и является одной из важнейших в современной физике. Для частицы с массой , движущейся со скоростью , имеем

. (14.2)

Если частица имеет кинетическую энергию Е, то учитывая связь импульса и энергии, можно записать (14.2) в форме

. (14.3)

Следует отметить, что волны де Бройля не являются электромагнитными. Они имеют особую природу, не имеющую аналогии в классической физике. Причем волны де Бройля представляют собой универсальное яв­ление для всех движущихся частиц. Возьмем к примеру летящую со скоростью 1000 м/с полю массой 0,01 кг. Длина волны де Бройля для та­кой пули будет равна

(м)» 10^-34м.

Видно, что такая длина волны не может быть обнаружена, дифракционными опытами даже на ядрах атомов, размеры которых порядка. 10^{-15 м. Другое дело, когда мы переходим к микроскопическим телам. Например, длина волны де Бройля для электрона массой 9,}I × 10^-31 кг, движущегося со скоростью 10⁶ м/с, имеет величину порядка 10^{-10 м. В этом случае должна иметь место дифракция электронов на атомах, размеры которых порядка 10-10} м. Гипотеза де Бройля экспериментально подтвердилась в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера в 1927 году, наблю­давших рассеяние электронов монокристаллом никеля. В экспериментах по рассеянию электронов на кристаллах, как было показано выше, обнаруживается, что в отдельных направлениях рассеивается большее число электронов, чем во всех других. С волновой точки зрения наличие максимумов числа электронов в некоторых направлениях означает, что в этих направлениях волны де Бройля имеют наибольшую интенсивность. Учитывая, что интенсивность волны пропорциональна квадрату модуля амплитуды волны, можно дать своеобразное вероятностное толкование волн де Бройля. Квадрат модуля ½А½²амплитуды волн де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в этой точке. Для описания распределения вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой области пространства вводится функция координат и времени, которую называют волновой функцией . Волновая функция сама по себе физического смысла не имеет, смысл имеет квадрат модуля волновой функции. Опре­делим его следующим образом: вероятность того, что частица находится в элементе объема , пропорциональна квадрату модуля волновой функции ½ ½² и элементу объема , т.е.

. (14.4)

Плотность вероятности будет равна

. (14.5)

Она определяет, вероятность пребывания частицы в данной течке простран­ства. Следовательно, квадрат модуля волновой функции, где комплексно сопряженная с волновая функция, представ­ляет собой вероятность нахождения частицы в данной точке простран­ства. Иными словами, величина определяет интенсивность волн де Бройля. По определению волновой функции она должна удовлетворять следующему условию

, (14.6) где тройной интеграл вычисляется по всему пространству от -¥ до ¥. Выражение (14.6) означает, что нахождение частицы в какой либо точке всего бесконечного пространства есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице. Выражение (14.6) называют также условием нормировки волновой функции или условием нормировки вероятностей.

Уравнение Шредингера. В предыдущей лекции мы выяснили, что состояние частицы в квантовой механике определяется заданием волновой функции , зависящей от координат и времени. Следовательно, для отыскания явного вида волновой функции в квантовой механике необходимо иметь уравнение, подобное уравнению движения Ньютона в классической механике. Такое уравнение было найдено Э. Шредингером в 1926 году. Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется на основе известных опытных фактов, и справедливость его доказывается согласием теоретических расчетов и опытных данных. В общем случае уравнение Шредингера имеет вид:

, (14.7)

где - масса частицы, Дж×с- постоянная Планка деленная на , - мнимая единица, - волновая функция, - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором движется частица, - оператор Лапласа, показывающий, какую операцию нужно провести над волновой функцией . Уравнение (14.7) справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью (с- скорость света в вакууме). Уравнение Шредингера накладывает дополнительные условия на волновую функцию :

1. Волновая функция должна быть конечной, непрерывной и однозначной;

2. Волновая функция должна иметь непрерывные частные производные ;

3. Функция должна быть интегрируема, т.е. интеграл должен быть конечным.

Атом и молекула водорода в квантовой теории

Атом. Молекула. Атомы в природе отличаются количеством электронов, находящихся в различных энергетических состояниях, поэтому описать свойства любого атома с помощью единой модели не представляется возможным, хотя обнаружить некоторые общие свойства атомов вполне реаль­но. Рассмотрим вначале простейший с точки зрения квантовой механики атом водорода.

С квантовомеханической точки зрения задача об атоме водорода сводится к задаче о движении электрона в кулоновском потенциальном поле ядра. Потенциальная энергия электрона в атоме водорода описывается выражением

. (14.8)

Уравнение Шредингера для атома водорода. Водородоподобные атомы. Состояние электрона в атоме водорода описывается некоторой волновой функцией, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, которое с учетом (14.8) будет иметь вид

. (14.9)

Другим важным выводом из решения уравнения (14.9) является следующий факт. Так электрон связан в атоме, то и полная энергия электрона в атоме будет квантована и ее значения определяются выражением

, (14.10)

где - радиальное квантовое число.

Сравнивая выражение (14.10) с выражением для полной энергии электрона в атоме водорода, полученном из теории Бора

, (14.11)

получим ,

где І, 2, 3,.... - главное квантовое число.

Осн. 3[62-86], 5 [422-431], 6 [393-400].

Доп. 24 [350-361]

Контрольные вопросы:

1. В чем состоит корпускулярно- волновой дуализм свойств света?

2.Можно ли, пользуясь соотношениями неопределенностей, по известному импульсу фотона определить область его локализации?

3.В чем заключается статистический смысл волновой функции?

4.Приведите аргументы, показывающие, что в составе ядра не может быть электронов.