Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лекция 4. Производная

Наиболее совершенными из всех соединений костей являются диартроы (суставы) - подвижные соединения костей, выполняют функции движения. В позвоночном столбе их около 120.

Строение простого сустава:

Суставные поверхности – участки соприкосновения костей. Имеют форму: шаровидную, чашеобразную, эллипсовидную, седловидную, мыщелковую, цилиндрическую, блоковидную, винтообразную. Если поверхности костей соответствуют друг другу, - конгруэнтные, если нет – инконгруэнтные.

Суставной хрящ (0,2 – 6 мм.) покрывает суставные поверхности, сглаживает неровности костей, амортизирует движения. Чаще встречается гиалиновый хрящ (искл.: височно-нижнечелюстной и грудино-ключичный имеют волокнистый хрящ). Суставная капсула герметично закрывает суставные поверхности. Имеет 2 слоя: наружный – фиброзная мембрана (крепкая, прочная, функция защиты) и внутренний - синовиальная (вырабатывает синовию, функция смазки, напоминает белок куриного яйца). Суставная полость – узкая щель, ограниченная суставными поверхностями и синовиальной мембраной, герметически изолированная. В норме в ней всегда отрицательное давление (ниже атмосферного).

Внесуставные и внутрисуставные связки укрепляют сустав и капсулу. Суставные диски и мениски – сплошные и несплошные хрящевые пластинки, расположенные между инконгруэнтными суставными поверхностями. Сглаживают неровности. Суставная губа - хрящевой валик, расположенный вокруг суставной впадины и служащий для увеличения ее размера. Синовиальная сумка – выпячивание синовиальной мембраны в истонченных участках фиброзной мембраны капсулы сустава (коленный, до 17 сумок). Функция амортизации и скольжения. Сустав, образованный двумя суставными поверхностями – простой, тремя и более – сложный. Если в суставе присутствует мениск, разделяющий полость на 2 этажа, - комплексный. Два анатомически изолированных друг от друга, но работающих вместе, - комбинированные. Если движение в суставе осуществляется по одной оси - одноосный, по двум – двуосный, по трем и более, - многоосный. Гемиартроз (симфиз) – хрящевое соединение костей, в центре которого имеется узкая щель, внутри нет синовиальной мембраны, а снаружи не покрыто капсулой. В нем возможны лишь небольшие смещения костей (лобковый симфиз – роды – кресцово-позвоночный симфиз).

Лекция 4. Производная

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует

Используется также эквивалентное обозначение , и употребляется точка сверху, , когда речь идет о функциях вре­мени. Операцию взятия производной называют дифференцированием. Функцию называют дифференцируемой в точке x, если существует производная.

Производная – это скорость изменения функции f при изменении аргумента x.

Когда функция - путь, аргумент - время, производная — это обычная скорость. Действительно, разность s(t + ∆t) - s(t), равная пути, пройденному за время t, и отнесенная к промежутку времени t, дает среднюю скорость на интервале ∆t. При ∆t → 0 получается мгновенная скорость в точке t.

На рис. 3.1 изображены два примера.

Как хорошо известно, если график s(t) -

прямая линия, то v(t) = const. В случае тела, брошенного вверх с начальной скоростью , высота меняется по закону s(t) = , скорость .

Другую полезную интерпретацию производной дает рис. 3.2, из которого видно, что производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику f(x) в точке х.

При дифференцировании нет необходимости искать непосред­ственно пределы.

Зачем нужны производные?

- Здесь возникает раз­говор о максимумах, выпуклости, асимптотике и вообще изучении поведения функций, — где производные, конечно, играют боль­шую роль.

- Следующий виток — численные методы. Оптимизация, решение уравнений, неравенств, — почти везде используется диф­ференцирование. Скажем, итерационный метод Ньютона для решения уравнения f(x)=0 в случае f(x)=x2-2 вычисляет корень квадратный из 2, давая последовательные приближения. Казалось бы, ничего особенного, однако дюжина итераций, начиная, допустим, с xо = 1, дает тысячу(!) верных знаков после запятой.

- Пусть Т обозначает температуру тела, находящегося в сре­де с температурой То. Как будет проходить процесс нагревания или охлаждения? Скорость Т’ изменения Т пропорциональна разности тем­ператур Т₀ - Т, т. е. T’ = С(Tо-Т), где C > 0 — коэффициент пропорциональности.

Это простейший вариант дифференциального уравнения (содер­жащего производные). На подобного сорта уравнениях базируется вся физика и другие прикладные науки. Как, скажем, движутся механические тела? Один раз такую задачу удалось решить Кеплеру (планеты — по эллипсам), но это ничего не дало для решения дру­гих задач. Дифференциальный закон Ньютона (масса на ускорение равна силе), = F, обеспечил путь к решению любых механических задач. Уравнения электродинамики, диффузии, распространения волн и эпидемий, гидро- и аэродинамики, квантовой механики — дифференциальные.

Основные правила дифференцирования.

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

(u ±v) ' = u'±v'

(uv)'= uv'+ u'v

Производные основных элементарных функций.

Задание: Записать таблицу производных, выучить формулы.

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть y = f(u); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. В предположении, что все функции имеют производные, мы получим формулу для дифференцирования сложной функции. Тогда .

Дифференциалы.

Гипотетически рассуждая, в условиях неведения о производных, можно было бы задаться вопросом, когда приращение функции представимо в виде ∆у = A∆x + о(∆х), (*)

где А — некоторая константа.

Ответ очевиден.

Это представление имеет место тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке х. При этом А = f'(x).

Таким образом, проблема тривиальна, и на этом можно было бы закончить, но традиционно на данном аспекте сфокусировалось слишком много внимания, чтобы его теперь можно было обойти стороной.

Определение. Линейная часть приращения ∆у, равная А∆х в представлении, называется дифференциалом функции у = f(x) и обозначается dy.

Следовательно, ∆y = dy+о(∆х), т. е. приращение ∆у равно сумме линейного приращения dy и нелинейной части о(∆х). Полагая для независимого приращения ∆х = dx, имеем откуда, собственно, и возникло обозначение производной

Теоремы о среднем

Теорема Ферма. Пусть f(x) в точке х=а дифференцируема и принима­ет локально максимальное значение, т. е. f(a)>f(x) для всех х из достаточно малой окрестности точки а. Тогда f’(a) =0.

Результат очевиден с разных точек зрения:

Первый вариант. В точке максимального удаления скорость обнуляется — надо остановиться, чтобы двинуться обратно.

Другой вариант. Геометрически понятно, что касательная к локальному максимуму (рис. 3.4) должна быть горизонтальна (tg у = 0).

Третий вариант. В предполо­жении противного, f’(a)>0, например, линейная (самая большая при малом ∆x) часть приращения f(a)∆x > 0 при ∆x > 0, т. е. f(a +∆x) > f(a) при достаточно малых Ах > 0, что противоречит наличию локаль­ного максимума в а.

Обратное, разумеется, неверно. У x³ производная в нуле равна нулю, но нет никакого максимума (в нуле точка перегиба).

Теорема Ролля. Пусть f(x) дифференцируема на [а, b] и f(a) = f(b). Тогда есть точка c [а, b], в которой f’(c) = 0.

Действительно, из того, что f(а) = f(b) вытекает, что f(x) на [а, b] имеет или минимум, или максимум. Далее решает ссылка на предыдущую теорему.

Теорема Лагранжа. Пусть f(x) дифференцируема на [а, b]. Тогда существует точка c (а, b), в которой f’(c). Последнее равенство чаще записывают в виде произведения , подчеркивая способ выражения ∆f(x) с помощью умножения ∆x на «среднюю скорость роста.

Формула Тейлора

Пусть функция f(x) п+1 раз дифферен­цируема в некоторой окрестности точки а. Тогда для x, достаточно близких к а, справедлива формула

, где при

Легко видеть, что многочлен имеет в точке а те же производные (до n-й включительно), что и f(x).

Монотонность, выпуклость, экстремумы

При изучении поведения функции дифференцирование работает весьма эффективно. Основу составляют несколько простых сообра­жений, которые позволяют решать сложные задачи. В этом, кстати, нет противоречия. Элементарные причины могут порождать весьма замысловатые последствия.

Даже такой простой факт, как f '(x) = 0 => f(x) = const, может приносить плоды. Например, для какого-нибудь сложно доказуемого тождества f(x) = g(x) проверка f '(x) = g'(x) может оказаться совсем легкой. Тогда остается убедиться лишь в равенстве f(a) = g(a) и задача решена.

Функция f(x) монотонно растет, если , и убывает – если . Тоже совсем прозрачный результат. Скорость изменения по­ложительна — функция растет, отрицательна — убывает. Строго положительна — строго растет и т. д. Характер роста f(x) играет важную роль во многих задачах. В случае f'(a) = 0, например, полезно выяснить поведение произ­водной f(x) в окрестности точки а.

Если и слева от а производная положительна, справа — отрицательна, то у f(x) в точке а — максимум. Если наоборот, то минимум. Производная сохраняет знак — точка перегиба, как у=х³ в нуле.

Еще одна полезная категория мышления — выпуклость. Функцию называют выпуклой, когда ее график выглядит, как на рис. 3.5 а, и вогнутой — в случае, изображенном на рис. 3.5 б.

Выпуклая функция с увеличением х растет все быстрее, т. е. скорость f’(x) возрастает (ускорение f’’(x) положительно). Вогнутая функция, наоборот, с увеличением х растет медленнее.

Из рис. 3.5 геометрически ясно, что вертикальный луч, идущий вверх из любой точки с [а, b], пересекает сначала график f(x), потом отрезок AB, что можно записать как

f(pa + qb) < pf(a) + qf(b), при любых неотрицательных р и q, удовлетворяющих условию p+q = 1. Это называют неравенством Йенсена и обычно принимают за определение выпуклой функции, а монотонность производной уже выводят как следствие.

Вообще говоря, выпуклость часто путают с вогнутостью. Поэтому, во избежание недоразумений, многие предпочитают говорить о выпуклости снизу или о выпуклости сверху.

Функцию обычно считают выпуклой, если она имеет выпуклый надграфик, представляющий собой множество точек (x, у), удовлетворяющих неравенству у >f(x).

Достаточно очевидна и возможная роль второй производной (ускорения).

Как уже отмечалось, влечет за собой выпуклость f(x) на соответствующем участке, —вогнутость. Таким образом, точки, в которых f"(x) обращается в нуль и меняет знак, определяют смену выпуклости на вогнутость (либо наоборот) и классифицируются как точки перегиба. Рис. 3.6 демонстрирует более общий случай, чем х³.