Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования 6 страница

Читайте также:
  1. B) созылмалыгастритте 1 страница
  2. B) созылмалыгастритте 1 страница
  3. B) созылмалыгастритте 2 страница
  4. B) созылмалыгастритте 2 страница
  5. B) созылмалыгастритте 3 страница
  6. B) созылмалыгастритте 3 страница
  7. B) созылмалыгастритте 4 страница
  8. B) созылмалыгастритте 4 страница
  9. CONTRATO DE LICENÇA E SERVIÇOS 2 страница
  10. CONTRATO DE LICENÇA E SERVIÇOS 3 страница

57. Антропогенное влияние на окружающую среду. В настоящее время деятельность человечества оказывает влияние на многие оболочки Земли. К таким воздействиям относятся,например,строительство крупных гидротехнических сооружений, крупных городов, добыча полезных ископаемых, массовое применение удобрений,мелиорация и многое другое. Земля и все происходящие на ней процессы.Термином природная среда обозначают совокупность систем и объектов материального мира, в их естественном состоянии не являются продуктом деятельности человека. Компоненты природной среды: почвы,недра, подземные воды, атмосферный воздух, животный и растительный мир, околоземное пространство, в совокупности обеспечивающие существование жизни на Земле,в том числе и гомосапиенс,в таком виде, в котором мы есть.Примеры влияния человека на окружающую среду: 1. Крупные водохранилища. В настоящее время простроено и строится около 30 тысяч водохранилищ, объемом воды 6 тыс км^3. (Максимальный годовой сток Енисея 110 км). На территории России 247 крупных водохранилищ. Крупные водохранилища изменяют гидрологический режим рек и связанный с ними режим подземных вод, изменяется региональный базис эррозии,а отсюда гидрологический режим всех впадающих в реку притоков, изменяется зона эррозии реки, скорость потока,а отсюда характер и количество переносимого материала,повышение уровня воды приводит к подрезке склонов и интенсивности складчатых процессов. Подъем уровня воды вызывает заболачивание отдельных территорий. Громадная масса воды может спровоцировать подвижки земной коры и,как следствие,интенсификацию сейсмических процессов,изменяя пути миграции и нерестилищ рыб и характер водной растительности. Это далеко не полный перечень изменения параметров. 2. Крупные города и сосредоточенная в них промышленность являются одним из самых основных источников загрязнения атмосферы. Главные факторы: сжигание топлива, металлургические комбинаты и объекты угольной энергетики,цветная и черная металлургия,цементные заводы и т.д. Количество пыли в атмосфере Земли в 20 веке увеличилось вдвое по сравнению с 19, за тот же период деятельность вулканов не превышала среднестатистическую,отсюда источник двухкратного увеличения пыли в атмосфере Земли – индустриализация человечества. Промышленная пыль обогащена различными компонентами.Присоединяясь к природным веществам эта пыль нарушает как естественную концетрацию веществ, так и концетрацию на пути миграции. Кроме того, крупные породы потребляют крупное количество пресной воды,источником которой являются часто подземные воды,это приводит к огромным полостям во вмещающих породах. Это приводит к просадке грунтов. Так,Токио и Осака за последние годы опустились на 4 метра. 3. Горные работы влекут за собой извлечение из недр громадного количества горной массы. Часть этой массы складируется в отвалах,терриконах,хвостохранилищах (отходы обогатительных фабрик),другая часть вовлекается в переработку,засчет чего безвозвратно теряется большое количество природных компонентов. Горные работы создают искусственные формы рельефа, изменяют режим поверхности и картину напряжений в Земной коре. Изменяется характер экзогенных и эндогенных процессах в регионах горных работ. Добыча угля из 4000 шахт мира сопровождается выделением 27 млрд м3 тонн метана и 17 млрд м3 тонн углекислого газа. Эти газы являются парниковыми. Их увеличение в атмосфере привело к глобальному потеплению. Средняя температура атмосферы по сравнению с доиндустриальным периодом к 2000 г увеличилось на 1,5С,к 2025 году это увеличение составит 2-2.5 С. 4. Мелиорация и распахивание целинных земель. Необдуманное осушение болот привело к многочисленным пожарам торфяников. Пример,во много раз превышающая норму в 2010 г загазованность города Москва засчет пожара болот. Строительство оросительных каналов приводит к подъему уровня грунтовых вод и засчет этого вынос минеральных веществ на поверхность почвы. Такое орошение вывело из сельскохозяйственного оборота миллионы гектар плодородных земель,в частности США,Канада,Россия (образовались солончаки). В середине 60-х годов распахивание целинных земель (Казахстан), засчет дефляции вывело эти земли из сельскохозяйственного оборота. 5. Влияние на биос.Различные формы биоса избирательно поглощая определенные компоненты способствуют миграции этих компонентов. Изменение геохимии на поверхности Земли засчет деятельности Человечества привело к изменению концетрации мигрирующих веществ засчет биоса. Последствия таких изменений труднопредсказуемы из-за короткого периода наблюдений. По данным МСОП с 1990 г на Земле вымерло 94 вида птиц и 63 вида млекопитающих. Основная причина-употребление в пищу человечеством. Ежегодно на территории акваторий разными путями попадает огромное количество загрязняющих веществ:нефть и нефтепродукты,ПАВ,сульфаты,хлориды,радионуклеиды и т.д. Вблизи крупных портов снизилось количество коралловых биоценозов, снизилось видовое разнообразие, появились мутогенные экосистемы,приспособленные к загрязнению. На дне водоемов концетрируются техногенные илы. Приведенных примеров достаточно,чтобы иллюстрировать предположение о том,что деятельность человечества влияет на эндогенные и экзогенные процессы.

58. Проблема охраны недр, защиты природной среды и сохранения природной обстановки. Понятие о ноосфере (по В.И. Вернадскому). Значение международного сотрудничества по охране окружающей среды. Понятие о ноосфере. Появление человеческого разума радикальным образом изменило темпы всех процессов, протекающих в биосфере. Первым эту мысль высказал Вернадский. На основании учения Вернадского в настоящее время биосферу определяют как активную оболочку Земли, в которой совокупная деятельность организмов проявляется как геохимический фактор планетарного масштаба.Согласно Вернадскому, появление жизни на Земле одна из возможных форм самореализации материи. Какая именно реализация будет осуществлена зависит от множества случайных факторов. На планете Земля сочетание множества случайных факторов привело к организации материи в форме гомосапиенса. Отсюда человек одна из бесчисленно возможных форм самоорганизации материи, отсюда человек не может развиваться вопреки объективным законам организации материи, если он эти законы нарушит, то будет уничтожен породившей его Вселенной. Произойдет множество реализаций, но реализация гомосапиенса не повторится никогда. Вернадский отмечал, что воздействие человека на природу идет так быстро, что человек сам превращается в геологообразующую силу. Отсюда сохранность природной среды и общества становятся неразрывными. По Вернадскому, однажды биосфера перейдет в ноосферу.В понимании Вернадского, ноосфера – это такое состояние биосферы, когда разум имеет возможность направлять развитие биосферы в интересах эволюции человека. Выполнение принципа совместного развития биосферы и общества потребует от человечества регламентации своих действий и определенных ограничений.Необходимость международного сотрудничества в области охраны природной среды диктуется необходимостью экологической зависимости стран друг от друга. Загрязнение атмосферы в одной стране ведет к загрязнению атмосферы в целом. Тоже самое относится к ядерным взрывам и другим факторам, поэтому в настоящее время государство под эгидой ООН на двусторонней основе организует взаимодействие с целью охраны природной среды. Впервые принципы международного экологического сотрудничества были изложены на Стокгольмской конференции ООН в 1972 году. Наиболее полными приняты принципы международного сотрудничества по охране природной среды в 1992 году в Рио-де-Жанейро.

 

 


 

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

1. Пусть дано линейное преобразование:

Вектор называется собственным вектором этого линейного преобразования, если

Где - некоторое действительное число; число называется собственным значением вектора

Это определение означает, что собственный вектор при преобразовании переходит в коллинеарный вектор, причем собственное значение равно отношению этих коллинеарных векторов (коэффициенту «растяжения» собственного вектора в результате преобразования ).

Очевидно, что если - собственный вектор преобразования , то и любой коллинеарный ему вектор ( - любое действительное число, отличное от нуля) также будет собственным вектором преобразования с тем же собственным значением, что и Действительно, в силу линейности преобразования имеем

Отметим, что равенство (1) может быть записано также в виде

Все сказанное и равной степени относится к пространствам и вообще к любому линейному пространству

Для иллюстрации введенных понятий собственного вектора и собственного значения рассмотрим линейные преобразования.

а) Для гомотетии пространства любой вектор будет собственным с собственным значением Аналогичное утверждение, конечно, имеет место и для тождественного преобразования являющегося частным случаем гомотетии и для отражения от точки

б) Для геометрического растяжения плоскости в направлении вектора :

собственными векторами будут векторы, лежащие на осях Очевидно, что для собственных векторов, лежащих на оси собственное значение равно 1, а для собственных векторов, лежащих на оси собственное значение равно В частности, те же векторы будут собственными при проектировании плоскости на ось причем векторы, лежащие на оси будут переходить при проектировании в нулевой вектор 0 (который коллинеарен любому вектору!)

в) Поворот плоскости на угол отличный от и очевидно, действительных собственных векторов не имеет. Если же или то получим тождественное преобразование или отражение от точки, для которых любой вектор — собственный. В отличие от этого поворот пространства имеет единственное действительное собственное направление, совпадающее с направлением оси вращения.

г) Для сдвига

плоскости в направлении вектора собственными векторами, отвечающими собственному значению 1, очевидно, будут векторы, лежащие на оси

д) Собственными векторами преобразования

представляющего собой в пространстве совокупность трех растяжений вдоль взаимно-перпендикулярных осей служат векторы, лежащие на этих осях, поскольку

Им отвечают собственные значения

Аналогично на плоскости собственными векторами преобразования

служат векторы, лежащие на осях Соответствующими собственными значениями этих векторов являются числа

2. Перейдем теперь к вопросу об отыскании собственных векторов и собственных значений данного линейного преобразования в пространстве Мы знаем, что если задан какой-нибудь ортонормированный базис то с преобразованием связывается матрица

— матрица преобразования в базисе Если вектор координаты которого в базисе равны есть собственный вектор преобразования с собственным значением то, записав равенство (1) в координатной форме, получим

или, в сокращенной записи,

Перепишем равенства (2) в виде

или, в сокращенных обозначениях, в виде

Система C) представляет собой систему трех линейных однородных уравнений с тремя неизвестными Поскольку по предположению она имеет ненулевое решение, которое составляют координаты ненулевого собственного вектора то определитель этой системы должен быть равен нулю:

или, кратко,

где — единичная матрица.

Тем самым мы доказали, что всякое собственное значение линейного преобразования удовлетворяет уравнению (4).

Обратно, пусть —действительный корень уравнения (4). Тогда, если подставить в систему (3) вместо то полученная система будет иметь ненулевое решение поскольку ее определитель равен нулю. Для вектора с координатами будут выполняться равенства (2), и, следовательно, для этого вектора и числа имеет место соотношение

Поэтому будет собственным вектором преобразования , соответствующим собственному значению

Итак, для нахождения собственных векторов преобразования надо решить уравнение (4); каждый действительный корень этого уравнения является собственным значением преобразования , а координаты соответствующих этому значению собственных векторов определяются из системы (3).

Уравнение (4) называется характеристическим (или вековым) уравнением преобразования

До сих пор мы рассматривали только действительные скалярные величины и векторы только с действительными координатами. Но в математике рассматривают также векторные пространства над множеством комплексных чисел, допуская в качестве скаляров и в качестве координат вектора комплексные числа. Если при изучении линейных преобразований встать на эту точку зрения, то можно допускать существование комплексных собственных значений и собственных векторов с комплексными координатами.

Предположим теперь, что матрица линейного преобразования имеет действительные компоненты. Тогда характеристическое уравнение (4) этого линейного преобразования является уравнением третьей степени с действительными коэффициентами. Из алгебры известно, что такое уравнение имеет либо три действительных корня, либо один действительный

и два комплексно сопряженных корня. Легко видеть, что комплексно сопряженным собственным значениям будут соответствовать комплексно сопряженные собственные векторы линейного преобразования

3. Развернем определитель, стоящий в левой части характеристического уравнения. Тогда характеристическое уравнение примет вид:

где

Многочлен, стоящий в левой части характеристического уравнения, называется характеристическим многочленом матрицы Как мы видим, для пространства этот многочлен имеет третью степень.

Поскольку собственные значения преобразования определены независимо от выбора базиса, то действительные корни характеристического уравнения также не зависят от выбора базиса.

Покажем, что и сам характеристический многочлен не зависит от выбора базиса. В самом деле, характеристический многочлен есть определитель матрицы При преобразовании прямоугольного базиса матрица переходит в матрицу определяемую по формуле

где — ортогональная матрица перехода от старого базиса к новому. Заметим также, что Поэтому Отсюда на основании теоремы об определителе произведения

матрицы вытекает, что

Но как произведение определителей обратных матриц. Поэтому

Утверждение доказано. Поэтому можно теперь называть характеристический многочлен матрицы характеристическим многочленом преобразования .

Из доказанной инвариантности характеристического многочлена следует инвариантность его коэффициентов

Таким образом, матрица линейного преобразования в пространстве имеет три инварианта.

4. Пусть теперь

—линейное преобразование на плоскости , a

— его матрица в некотором ортонормированном базисе .

Аналогично предыдущему можно показать, что собственные значения преобразования определяются из характеристического уравнения

а собственные векторы — из системы

куда вместо надо подставить решения характеристического уравнения.

Многочлен

стоящий в левой части характеристического уравнения, называется характеристическим многочленом преобразования

Его коэффициенты

не зависят от выбора базиса.

 




Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.022 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав