Читайте также:
|
Рассмотрим симметричное линейное преобразование 
Такое преобразование удовлетворяет соотношению
где 
- любые векторы пространства.
Докажем теперь четыре теоремы о собственных векторах и собственных значениях симметричного линейного преобразования пространства 
Эти теоремы позволят нам полностью решить вопрос о наиболее простом виде матрицы такого преобразования и выяснить его геометрический смысл.
Теорема 1. Собственные векторы симметричного линейного преобразования, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны между собой.
Действительно, пусть 
- Х.2—два различных собственных значения симметричного линейного преобразования 
а 
- соответствующие им собственные векторы. Тогда
Умножив первое из этих равенств скалярно на 
а второе - на 
получим
В силу симметричности преобразования 
левые части этих равенств равны, поэтому равны и правые их части:
или
откуда, поскольку 
имеем
что означает перпендикулярность векторов 
Теорема 2. Если 
- собственный вектор симметричного преобразования 
и вектор 
перпендикулярен вектору , то вектор 
также перпендикулярен вектору .
В самом деле, пусть вектор перпендикулярен вектору 
Тогда 
Так как - собственный вектор, то
Поэтому
А это и означает, что вектор перпендикулярен вектору
Заметим, что при доказательстве теорем 1 и 2 мы нигде не пользовались тем, что размерность пространства 
равна трем. Тем самым эти теоремы доказаны для любого пространства 
в частности и для плоскости 
Теорема 2 для пространства 
означает, что если симметричное преобразование имеет один собственный вектор, то любой перпендикулярный ему вектор тоже будет собственным. Для пространства эта теорема означает следующее. Если - собственный вектор симметричного преобразования пространства и 
- перпендикулярная вектору плоскость, то векторы, лежащие в плоскости 
при преобразовании остаются в этой плоскости, т. е. плоскость является инвариантной плоскостью преобразования .
Перейдем теперь к третьей теореме.
Теорема 3. Корни характеристического уравнения симметричного линейного преобразования всегда действительны.
Предположим противное: пусть 
- комплексный корень характеристического уравнения 
Так как это уравнение имеет действительные коэффициенты, то число 
сопряженное 
также является корнем уравнения Обозначим через и 
собственные векторы, отвечающие собственным значениям 
и 
так
Векторы и будут комплексно сопряженными векторами:
где 
и 
- комплексно сопряженные числа.
Если 
то по теореме 1, которая сохраняет свою силу и для комплексных значений , векторы и будут ортогональны между собой и
Но, с другой стороны,
Полученное противоречие доказывает теорему.
Заметим, что теорема 3 также будет справедлива для любого 
и, в частности, для 
Теорема 4. Симметричное линейное преобразование пространства имеет три взаимно ортогональных собственных вектора.
Пусть 
- собственное значение симметричного линейного преобразования и 
- соответствующий ему собственный вектор. Тогда плоскость ортогональная вектору будет инвариантной плоскостью по отношению к преобразованию . В плоскости преобразование будет снова линейным симметричным преобразованием. Пусть 
- некоторое его собственное значение и 
- соответствующий этому собственному значению собственный вектор. Вектор ортогонален вектору 
Пусть теперь вектор 
лежит в плоскости и ортогонален вектору 
Из теоремы 2 следует, что этот вектор также будет собственным вектором преобразования . Таким образом, мы нашли три взаимно ортогональных собственных вектора линейного преобразования , что и требовалось.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 117 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |