Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функциональные ряды. Область сходимости.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция.

Степенной ряд- самый частый пример функционального ряда.

– Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости: (a;b)

– Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал: [a;b) или (a:b].

– Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок:[a;b]

19.Степенные ряды. Интервал сходимости. Степенным рядом называется ряд типа а(0)+а(1)*х(квадрат)+а(2)*х(куб)+…+, где а-постоянные числа, называемые к-тами ряда. Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости.Область сходимости-некоторый интервал. Интервал сходимости является такой интервал от –r до +r, что для всякой точки x, лежащей в этом интервале, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х вне его-ряд расходится.

20.Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:f(x)=CИГМАf⁽ⁿ⁾(а)*(х-а)ⁿ /n!

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена: f(x)=CИГМАf⁽ⁿ⁾(0)*xⁿ/n!

21.Разложение функции в степенные ряды. Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:

Примечания: Надстрочный индекс в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка.

Данная формула получила имя некоего англичанина Тейлора

22.Использование степенных рядов для приближенного вычисления. Пример-Пользуясь разложением в ряд sinx, вычислить sin20^o с точностью до 0,0001.

Решение. Чтобы можно было пользоваться формулой (2), необходимо выразить значение аргумента в радианной мере. Получаем . Подставляя это значение в формулу, получаем

Полученный ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям Лейбница. Так как , то этот и все последующие члены ряда можно отбросить, ограничиваясь первыми двумя членами. Таким образом,

23.Ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида

(1)

где

Числа , и () называются коэффициентами Фурье функции .