Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие о системах счисления. Правила арифметики двоичных чисел

Системой счисления называют способ представления чисел с помощью набора определенных символов. В настоящее время в большинстве стран мира используют позиционные системы, где одна и та же цифра имеет различное значение, определенное позицией в изображаемом числе.

Классической позиционной системой счисления является десятичная. Для обозначения любого числа здесь используется 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, которые записываются в определенной последовательности, причем вес каждой цифры зависит от ее положения.

1997 = 1 х 10³ + 9 х 10² + 9 х 10¹ + 7 х 10⁰,

т.е. вес каждой последующей цифры больше предыдущей в 10 раз, где 10 - основание системы.

По аналогичным правилам строится двоичная система, где 2 цифры: 0,1. Любое десятичное число может быть записано в двоичной системе с помощью цифр 0 и 1. Причем вес каждой цифры также будет зависеть от ее позиции и каждая последующая цифра будет больше предыдущей в 2 раза. Например: 155₁₀ = 10011011₂

155₁₀ =1 х 2⁷ + 0 х 2⁶ + 0 х 2⁵ + 1 х 2⁴ + 1 х 2³ + 0 х 2² + 1 х 2¹ + 1 х 2⁰

Используя данные правила, можно построить любую систему

счисления. На практике можно встретить четверичную, восьмеричную и шестнадцатиричную системы. Однако наиболее широкое применение находит двоичная система.

Это объясняется прежде всего тем, что импульсная и цифровая техника оперирует с сигналами, которые могут принимать только два значения: наличие импульса обозначается "1", а его отсутствие "0".Кроме того, некоторые цифровые устройства имеют два устойчивых состояния, которые также можно обозначать как "0" и "1".

Для перевода десятичных чисел в двоичную систему существует правило Горнера в основе которого лежит операция последовательного деления десятичного числа на 2 до тех пор, пока частное от деления не станет меньше двух.

Покажем это на примере:

155

1 0 0 1 1 0 1 1

Правило обратного перевода (двоичного числа в десятичную систему)

очевидно и было рассмотрено при пояснении правил построения двоичной системы.

Итак, в данном вопросе рассмотрена двоичная система счисления, нашедшая широкое применение в цифровых и вычислительных устройствах, и ее связь с другими системами.

Над двоичными числами можно выполнять все арифметические действия. Правила действий над двоичными числами задаются таблицами:

Таблица сложения Таблица вычитания Таблица умножения

0 + 0 = 0 0 - 0 = 0 0 х 0 = 0

0 + 1 = 1 1 - 0 = 1 0 х 1 = 0

1 + 0 = 1 1 - 1 = 0 1 х 0 = 0

1 + 1 = 10 10 - 1 = 1 1 х 1 = 1

Правила арифметики во всех позиционных системах аналогичны. Так, например, сложение двух двоичных чисел производят поразрядно, начиная с младшего разряда, в соответствии с правилами, приведенными в таблице сложения. Если младшие разряды чисел единицы, то появляется единица переноса в следующий разряд. Эта единица суммируется с результатом сложения цифр этого разряда и т.д.

Пример: 11111 1 - перенос,

+ 11011 + 27 – 1число,

00111 7 –2 число,

100010 34 – сумма.

Правила выполнения арифметических операций над двоичными числами положены в основу любого вычислительного устройства.