Читайте также:
|
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищеныКроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах.
Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен.
Приближенные вычисленияс помощью дифференциала функции одной переменной
Пример 1
Вычислить приближенно 
, заменяя приращения функции ее дифференциалом.
Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:
Начинаем разбираться, здесь всё просто!
На первом этапе необходимо составить функцию 
. По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: 
. Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение 
.
Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде 
. Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.
В качестве 
подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: 
. Действительно: 
.
Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае 
), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае 
). В результате и будет выполнен нужный подбор: .
Если , то приращение аргумента: 
.
Итак, число 67 представлено в виде суммы 
Далее работаем с правой частью формулы .
Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:
Дифференциал в точке находится по формуле:
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.
Из формулы следует, что нужно взять первую производную:
И найти её значение в точке :
Таким образом:
Всё готово! Согласно формуле :
Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора.
Ответ: 
Пример 2
Вычислить приближенно 
, заменяя приращения функции ее дифференциалом.
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за 
. Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным.
У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время.
Пример 3
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
в точке 
. Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение 
с помощью дифференциала»
Решение: Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: 
. Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать .
Значение необходимо представить в виде 
. Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается 
. И, следовательно: 
.
Вычислим значение функции в точке :
Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.
Находим первую производную:
И её значение в точке :
Таким образом, дифференциал в точке:
В результате, по формуле :
Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 66 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |