Читайте также:
|
ПЕРЕДМОВА
Методичні вказівки розроблені на базі програми курсу “Чисельні методи та математичне моделювання на ЕОМ”.
Одним із відомих методів дослідження і рішення прикладних технічних задач є моделювання. Моделювання використовується при проектуванні і створенні різноманітних систем. За допомогою моделювання аналізують як роботу окремих елементів об’єкту, так і процес взаємодії цілого об'єкта з іншими системами. Чим більше модель враховує різноманітні фактори впливу, тим більше складними рівняннями вона описується.
Розвиток обчислювальної техніки дозволило різко збільшити складність математичних моделей і прискорити процес одержання їх рішення. Такій процес побудови рішення математичної моделі на ЕОМ вимагає побудови спеціального методу та обчислювального алгоритму, що і складає основу чисельних методів. Застосування чисельних методів на ЕОМ призвело до необхідності аналізу отриманих на машині рішень і суворого обґрунтування вибору чисельного методу при рішенні задачі.
Той факт, що в ряді випадків інженер може не підозрювати, що видане машиною число не є рішення математичної моделі, а тим більше рішення фізичної моделі, призвів до необхідності привернути увагу інженера до особливостей застосування чисельних методів при рішення математичних моделей на ЕОМ.
У запропонованих методичних вказівках з курсу „Чисельні методи і математичне моделювання” у доступній формі студенти знайомляться із поняттям математичного моделювання, що зустрічаються в різних галузях прикладних задач, з основними чисельними методами рішення виникаючих математичних рівнянь і особливостями їхньої реалізації на ЕОМ.
Матеріал жадає від студентів знань матеріалу з курсу вищої математики, фізики, “Комп’ютерна техніка та програмування”, „Алгоритмізація та виконання обчислювальних робіт”в обсязі програм для ВТУЗів.
РОЗДІЛ 1. Загальні питання теорії моделювання.
Поняття моделі в прикладному дослідженні
Для рішення прикладних задач застосовується метод побудови моделей, тобто опис процесу на мові математики. Цей математичний опис ми і називаємо математичною моделлю.
Реальна ситуація рідко буває чітко обкреслена, а складна взаємодія з навколишнім середовищем часто робить точний опис ситуації скрутним. Паралельно з постановкою задачі йде процес виявлення основних або істотних особливостей явища: деякі риси явища визначаються важливими, а багато інших - несуттєвими. Гарна модель - це плід співробітництва математика і спеціаліста і щоб таке співробітництво було плідним, вони повинні розуміти один одного. Тому з вузівської лавки студенти повинні навчатися побудові математичних моделей своєї галузі.
Саме поняття «моделювання» звичайно зв'язують із створенням спрощеного опису процесу або системи для полегшення їхнього аналізу. Модель у тому або іншому змісті, більш-менш повно імітує оригінал. Опис може бути якісним або кількісним. Проте в будь-якому випадку його характерна риса складається в тому, що воно не відсвічує цілком усі характеристики досліджуваної системи, воно в цілому простіше об'єкта.
ВИЗНАЧЕННЯ.
Об'єкт А є моделлю об'єкта В по відношенню до деякої системи характеристик S, якщо А будується для імітації В по цих характеристиках.
Модель може бути побудована як для вивчення зазначених характеристик (дослідницькі моделі), так і для їхнього безпосереднього використання (робітницькі моделі: автопілот, протез, лялька, гроші).
Дослідницькі моделі можна підрозділити на дві групи:
● експериментальні (предметні)
● теоретичні (умоглядні).
Експериментальні моделі являють собою реально існуючі устрої двох типів: моделі першого типу мають ту же природу, що і об'єкт що моделюється, але відтворюють його спрощено і, звичайно, у зміненому масштабі. У основі моделювання лежить теорія подоби, що підтверджує, що абсолютна подоба може мати місце лише при заміні одного об'єкта іншим точно таким же. Абсолютної подоби при моделюванні не існує, звичайно прагнуть до тому, щоб модель достатньо добре відображала досліджувану сторону функціонування об'єкта. Подоба здійснюється по тим параметрам, що істотні для досліджуваних характеристик: наприклад, для дослідження опору прямуванню об'єкта потрібна модель, зовнішні форми якої подібні оригіналу, а для дослідження міцності того ж об'єкта - модель, що імітує його силовий каркас. Такі моделі іменуються фізичними. У якості одного з ознак класифікації видів моделювання використовують ступінь повноти моделі, і поділяють моделі на повні, неповні і наближені. У основі повного моделювання лежить повна подоба як у часу, так і в просторі. Для неповного моделювання характерно неповна подоба моделі самому досліджуваному об'єкту. У основі наближеного моделювання лежить наближена подоба, при котрої деякі сторони функціонування реального об'єкта не моделюються зовсім.
Так, наприклад, еквівалентна схема електронної лампи - це модель. Проте модель, що правильно описує співвідношення між током і напругою усередині приладу з деяким припустимим ступенем наближення, практично не дає інформації про фізичні розміри лампи або про навколишні умови, у яких вона повинна працювати. Таким чином, процес створення моделі або опису фізичної системи в більшій або меншій мірі складається в абстрагуванні від реальної системи.
Експериментальні моделі іншого типу - аналогові моделі - засновані на збігах математичного опису різноманітних явищ. Так, наприклад, коливальні явища в механічних і електричних системах описуються однаковими диференціальними рівняннями; це дозволяє замість щодо складного експерименту на механічній моделі поставити більш простий експеримент на відповідній електричній моделі, що у даному випадку і виступає в ролі аналога.
Застосовуються також комбіновані пристрої, що об'єднують моделі одного й другого типу - гібридні моделі.
Теоретичні моделі формулюються на мові тієї або іншої науки:
● математичні моделі
● фізичні моделі
● економічні моделі і т.д.
Теоретичні фізичні моделі імітують реальний об'єкт за допомогою абстрактних уявлень на фізичній мові, часто з використанням засобів математики. Після того, як теоретична фізична модель утворена, переходять до побудови математичної моделі.
Математичною моделлю задачі служить система рівнянь у самому широкому змісті цього терміна. Математичне моделювання для дослідження характеристик процесу ділиться на аналітичне, імітаційне і комбіноване.
Аналітичне моделювання відбиває процеси функціонування елементів системи у вигляді деяких функціональних співвідношень (алгебраїчних, интегро-диференціальних і т.д.) або логічних умов. Аналітична модель може бути досліджувана такими методами:
-аналітичним, коли прагнуть одержати в загальному вигляді явні залежності для шуканих характеристик;
-чисельним, коли, не уміючи вирішити рівняння в загальному вигляді, прагнуть одержати числові результати при конкретних початкових даних;
-якісним, коли, не маючи рішення в явному вигляді, можна знайти деякі властивості рішення (наприклад, оцінити усталеність).
Імітаційне моделювання реалізує алгоритм, що відтворює процес функціонування системи в часу, причому імітуються елементарні явища, що укладають процес, із зберіганням їхньої логічної структури і послідовності протікання в часу, що дозволяє по вихідним даним одержати зведення про стани процесу у визначені моменти часу, що дають можливість оцінити характеристики системи. У порівнянні з аналітичним моделюванням імітаційне дозволяє вирішувати більш складні задачі, тому що імітаційні моделі дозволяють достатньо просто враховувати наявність дискретних і безупинних елементів, нелінійні характеристики елементів системи, випадкові впливи і т.д., що дуже важко врахувати при аналітичних дослідженнях. Імітаційне моделювання дозволятити вирішувати задача аналізу великих систем, включаючи задачі оцінки: варіантів структури системи, ефективності різноманітних алгоритмів керування системою, впливи різноманітних параметрів системи. Імітаційне моделювання використовують при структурному, алгоритмічному синтезі великих систем, коли потрібно створити систему з заданими характеристиками при визначених обмеженнях, що є оптимальної по деяких критеріях оцінки ефективності.
Комбіноване моделювання проводить попередню декомпозицію процесу функціонування об'єкта на складові підпроцеси, і для тих із них, де це можливо, використовуються аналітичні моделі, а для інших будуються імітаційні моделі. Це дозволяє охопити якісно нові класи систем, що не можуть бути досліджувані з використанням тільки аналітичного й імітаційного моделювання окремо.
Методи моделювання діляться на аналогові, цифрові і комбіновані аналого-цифрові. Аналогове моделювання характеризується насамперед використанням неперервних сигналів і елементів. Аналогове моделювання може бути як фізичним, так і математичним. Використовується три форми фізичного моделювання: масштабні моделі, моделі-аналоги й іспити частин систем. Математичні моделі досліджуваної системи являють собою систему рівнянь, розв'язуваних за допомогою блоків аналогової обчислювальної машини. Цифрове моделювання також може бути як фізичним, так і математичним, але математичне моделювання є більш загальним. Цифрове моделювання здійснюється на універсальних ЦОМ. Процес підготування до моделювання виконується відповідно до загальних правил, пов'язаними з програмуванням будь-якої задачі на ЦОМ.
Види моделювання, у залежності від характеру досліджуваних процесів у системі, можуть бути розділені на детерміновані і стохастичні, динамічні і статичні, неперервні, дискретні і дискретно-неперервні.
Детерміноване моделювання відображає детерміновані процеси, тобто процеси, у яких передбачається відсутність усяких випадкових впливів.
Стохастичне моделювання відображає імовірні процеси і події. У цьому випадку аналізується ряд реалізацій випадкового процесу й оцінюються середні характеристики тобто набір однорідних реалізацій.
Статичне моделювання служить для опису поводження об'єкта в якийсь момент часу.
Динамічне моделювання відображає поводження системи в часу.
Дискретне моделювання служить для опису процесів, що передбачаються дискретними, неперервне - дозволить відобразити безперервні процеси в системах, а неперервне-дискретне використовується для випадків, коли хочуть виділити наявність як безперервних, так і дискретних процесів.
Математичне моделювання здійснюють на базі математичного опису реального процесу побудовою математичної моделі (систем рівнянь), що дає в якості рішення ті ж результати, що і при моделюванні на лабораторній моделі. Правильно побудована математична модель відбиває (у визначених рамках) характеристики аналізованого реального процесу.
Межа існування математичної моделі цілком визначаються допущеннями, прийнятими при її побудові. Не урахування основних особливостей (допущень) реального процесу може призвести до помилкових моделей і зрадливих висновків. У даному випадку говорять, що модель не адекватно відбиває процес, що моделюється.
І так, модель повинна бути адекватної досліджуваному реальному процесу щодо обраної системи його характеристик.
При проектуванні моделі необхідно мати повний і добре визначений перелік допущень, на яких будується модель, а потім, визначив їхній вплив на результат моделювання, виявити ті з них, що являються домінуючими. Так, наприклад, одним із поширених допущень являється допущення про відсутність у системі люфтів, зон нечутності, надмірних перевантажень, у механікові при моделюванні широко використовуються поняття матеріальної точки, абсолютно твердого тіла, пружної або пластичної середи, грузлої рідини. При моделюванні постановок задач користуються допущеннями про абсолютно гладкі або шорсткуваті поверхні і т.п.
Існують спеціальні науки для одержання систем математичних рівнянь, що описують неперервні фізичні процеси (рівняння математичної фізики, опір матеріалів, ТОЭ):
● у механіці закони Ньютона і співвідношення діючих на вільні тіла сил призводять до системи диференціальних рівнянь другого порядку, що описують динаміку системи;
● рівняння Лагранжу призводять до системи сумісних рівнянь, що описують динаміку механічних систем. Якщо рівняння Ньютона і Лагранжа записати в однакових координатах, то одержимо однакові системи рівнянь;
● метод Шредингера дає систему диференціальних рівнянь, що описують явища і динаміку поведінки частинок у квантовій механіці.
Таким чином, закони Ньютона, рівняння Лагранжа і метод Шредингера являються основними методами одержання математичних описів механічних систем.
Незважаючи на те, що фізичні закони описуються відповідними рівняннями, що являються математичними моделями динаміки цих процесів, не всі математичні моделі можуть бути отримані безпосередньо з фізичних законів. Багато систем моделюють за допомогою проведення лабораторних експериментів. Проте не завжди в процесі моделювання об'єкту можна ідентифікувати отримані результати в частотної і часової областях. Таким чином одержання емпіричних залежностей представляє собою складну проблему.
1.2. Моделювання і математика.
Отже, модель - це не тільки і не стільки зовнішня подібність, як головне: поведінка моделі і реального об'єкта повинні підкорятися однаковим закономірностям.
Уявимо собі, що в будівельної механіці вирішується задача визначення напруг у балці призматичної форми під дією навантаження, що крутить. Яким би великою частиною балки ми не моделювали дану ситуацію, досліджувати її не можна, адже розмістити усередині балки потрібна кількість датчиків не пошкодивши її неможливо. З іншого боку, математична задача, що описує напружений стан балки в точності збігається з задачею про прогин мембрани. Тільки в першому випадку, функція, що входить у рівняння, є напруга, а в другому - прогин мембрани. Описаний вище приклад показує як проводиться моделювання одних явищ за допомогою других. Тут ми скористалися теорією подоби Кирпичева, що стверджує, що подібні ті явища, які описуються тими ж самими математичними рівняннями. Математична модель обох явищ тут виявилася однаковою.
Математична модель і математичне моделювання існують давно. Описи фізичних явищ рахуються достовірними, якщо вони виражені за допомогою числових величин. Частина цих величин береться безпосередньо з досвіду, а частина формулюється як математична задача: запис на мові математики законів природи, що управляють явищами, яки нас цікавлять. Як правило - це закони зберігання речовини, енергії й ін.
Достовірність математичних моделей необхідно перевіряти - чи відбиває адекватно модель досліджувану нами ситуацію.
Роздивимося для приклада математичну модель каменю, кинутого на землю з невеличкої висоти.
Причину падіння установив ще Ньютон:
F 
Тому що ми розглядаємо падіння каменю десь у поверхні Землі, то радіус Землі буде відстанню між Землею і каменем.
Якщо на тіло діє сила F, то його рух описується 2-м законом Ньютона ma= F.
Названі два закони цілком визначають найпростішу математичну модель цього фізичного явища:
ma (1)
Рівняння (1) являється найпростішою математичною моделлю падіння тіла. Лабораторні досвіди цілком підтверджують теоретичні результати. Чи означає це, що розглянута математична модель вичерпно описує падіння будь-якого тіла?
Розглянутий нами рух являвся рівноприскореним, а от рух, наприклад, листа при падінні або парашутиста, більше нагадує рівномірний рух: незалежно від того з якої висоти летить, а приземляється з однією і тією же швидкістю. Цей приклад суперечить побудованої раніше моделі. Причина тут у тому, що ми не врахували опір повітря, що раніше був не істотним, а у випадку з парашутистом став істотним.
Таким чином можна підсумувати декілька етапів на шляху створення математичної моделі явища:
1. Конструюючи математичну модель, потрібно заздалегідь оцінити, яким явищам і фактам треба віддати перевагу, а якими фактами можна зневажити;
2. Провівши такий розподіл, необхідно записати в математичних формулах основні фізичні закони, що обусловлюють даний процес;
3. Записати в математичних формулах ті умови й обмеження, що істотні для даного процесу.
Звичайно в прикладному математичному моделюванні виділяють такі основні етапи:
1) побудова математичної моделі - математичне формулювання задачі;
2) вибір методу дослідження математичної задачі;
3) проведення математичного дослідження (рішення);
4) аналіз і реальна інтерпретація отриманих результатів.
Отже, математична модель це не тільки математичні рівняння, але й умови, що встановлюють межі придатності моделі. І всі отримані за допомогою цієї моделі результати будуть справедливі тільки в обговорених рамках.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 217 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |