Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Билет 53. Производные и дифференциалы высшего порядка, их вычисление

Пусть имеется функция , от которой мы вычислили первую производную . Но снова является функцией и от нее можно тоже вычислить производную. Производная от первой производной т.е. называется второй производной и обозначается :

Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной

.

Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки - , и т.д.

Итак, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n-1)-го порядка

Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие:

1.

2.

3.

Ппроизводной нулевого порядка считается сама функция, т.е. .

Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, т.е.

Выведем формулу для . Имеем

При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, что , совпадающее с приращением аргумента , есть величина, совершенно не зависимая от , т.к. мы можем взять каким угодно. Поэтому по отношению к

.

Скобки у обычно не пишут

Отсюда

Аналогично, дифференциал третьего порядка определяется как дифференциал от второго дифференциала

Имеем

так что

;

В общем случае

Легко показывается по индукции, что

; .