Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ!

Делим вторую строку на 3:

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду:

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение:

Ответ: , .

Пример 2

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. Сначала смотрим на левое верхнее число:

Удобнее всего решать, если здесь стоит единица. Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. Результат записываем во вторую строку:

К третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Результат записываем в третью строку:

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2. Затем делим третью строку на 3:

Результат всех элементарных преобразований:

Получаем эквивалентную исходной систему линейных уравнений:

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх:

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Подставляем его во второе уравнение:

Подставляем всё в первое уравнение:

Ответ: , , .

До сих пор мы рассматривали системы, которые имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Однако на практике широко распространены еще два случая:

– Система несовместна (не имеет решений);

– Система имеет бесконечно много решений.

Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса. Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же, разница будет в концовке решения.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений:

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.

Перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений:

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где λ – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений).

Ответ: нет решений.

Пример 4

Решить систему линейных уравнений:

Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом его и универсальность.

(Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить)

«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки вида , тоже нет. Значит, это третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.