Читайте также:
|
Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.
Метод Гаусса прост тем, что для его освоения достаточно знаний пятиклассника.Необходимо уметь складывать и умножать!
Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:
1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной).
Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу!
Пример 1
Решить систему методом Гаусса:
На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:
Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: 
.
Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: 
.
После того, как расширенная матрица система записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.
Существуют следующие элементарные преобразования:
1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:
2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Например:
Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить.
3) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Например:
Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2. Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.
4) К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера. Ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2:
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 77 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |