Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ЗАГАЛЬНОЇ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

РОЗДІЛ 1

1.1. Методичні рекомендації

Загальна задача лінійного програмування у формальній постановці має вигляд:

– цільова функція

,

– обмеження

У процесі перетворення змісту задачі до формального вигляду необхідно визначити:

– які ресурси є початковими та який продукт є кінцевим;

– скільки змінних х_j має кінцевий продукт;

– які величини є оцінками с_j та їх зміст;

– яка наявність ресурсів або особливі умови, які відображують виробничо-господарські вимоги;

– скільки обмежень повинно бути у складі математичної моделі та який їх зміст.

Наведемо деякі обмеження, які найчастіше зустрічаються у процесі побудови математичної моделі:

– виробництво кінцевих видів продукту повинно бути у співвідношенні, наприклад, перший та другий види кінцевого продукту виробляються у співвідношенні 2:5. Формально ці умови мають вигляд звідки 5х ₁ =2х ₂. Кінцевий вигляд обмеження у математичній моделі:

– завдання коефіцієнтів витрат a_ij та запасів b_i початкових ресурсів, наприклад, виробництво 1 кг першого виду кінцевого продукту потребує 0,2 кг початкової компоненти А, а для виробництва 1 кг другого виду – 0,15 кг, загальні запаси початкової компоненти А дорівнюють 10 кг; обмеження математичної моделі для такого змісту задачі має вигляд

– виробництво першого виду кінцевого продукту у n разів більше виробництва другого виду кінцевого продукту. Це відображається у математичній моделі таким чином:

якщо х₁=nx₂, то обмеження має вигляд

х₁ - nx₂=0;

– завдання діапазонів виробництва кінцевого продукту. Наприклад, виробництво другого виду продукту повинно бути у діапазоні [ А₁; А₂ ]; умови такого виробництва відображуються двома такими обмеженнями:

х₂ А₁;

х₂ А₂;

– якщо задані плани виробництва, то передбачається перевиконання таких планів, наприклад, х₁+х₂+...+х_n П.

Приклад.

Сумарне виробництво /у тоннах/ двох типів будівельних матеріалів за добу повинно бути у діапазоні [1, 6]. При цьому треба зважити, що обсяг виробництва другого типу матеріалу не повинен бути більшим 20% обсягу виробництва першого типу матеріалу.

Вартість реалізації 1 т першого типу будівельного матеріалу дорівнює 10 грн., другого – 15 грн.

Знайти оптимальне виробництво обох типів матеріалів таким чином, щоб сумарна вартість їх реалізації була максимальною.

Складемо математичну модель цієї задачі.

Кінцевий продукт з двох будівельних матеріалів у математичній моделі позначимо через х₁ та х₂; коефіцієнти вартості реалізації 1 т будівельних матеріалів відповідно дорівнюють

с₁=10 та с₂=15,

тому цільова функція має вигляд

F=10x₁+15x₂ max.

За сумою виробництва x₁ та x₂ не повинні порушувати заданий діапазон, тому таку вимогу треба записати двома умовами:

x₁+x₂ 1;

x₁+x₂ 6.

Умови виробництва x₁ та x₂ у вигляді відсотків можна відобразити наступним чином: якщо виробництво x₁ прийняти за 1, то виробництво x₂ не повинно перевищувати 0,2 x₁, тому обмеження набуде вигляду

5x₂ x₁ та - x₁+5x₂ 0.

За підсумками цих міркувань математична модель задачі буде такою:

F =10 x ₁+15 x ₂ max,

x₁ + x₂ 1,

x₁ + x₂ 6,

- x ₁+ 5x₂ 0,

x₁ 0, x₂ 0.

Надалі поряд з реальними задачами виробничо-господарської діяльності об’єкта приведені також й умовні задачі з метою охоплення неординарних ситуацій та їх моделювання.

1.3. Індивідуальні завдання

За змістом наведеної ситуації скласти математичну модель загальної задачі лінійного програмування, записати стандартну форму та вручну побудувати першу симплекс-таблицю.

В кінці розв’язування подати останню симплексну таблицю та зробити аналіз оптимального варіанта розв’язку.

1.3.1.

Фірма “Меблі” забезпечує товарообіг з трьох груп товарів.

Рівень транспортних витрат складає відповідно 1%, 3% та 2%, рівень витрат, які пов’язані зі зберіганням, – 2%, 1% та 1%, а рівень прибутку – 2%, 4% та 3% відповідно від обсягів товарообігу кожної групи товарів.

Транспорті витрати припускаються від 3,0 до 4,2 тис. грн., а витрати, які пов’язані зі зберіганням товару, – від 1,2 до 2,4 тис. грн.

Знайти загальний товарообіг, який потрібен фірмі, щоб досягти оптимальної структури цього товарообігу з максимальним прибутком, маючи на увазі, що товарообіг другої групи товарів повинен бути на менше 40 тис. грн., а третьої – не менше 100 тис. грн.

1.3.2.

Рівень прибутку та витрат від реалізації товару на 1 тис. кожного виду кришталю надано у наступній таблиці:

Згідно з умовами збуту та попиту обсяги виробництва кришталю І-го типу повинні бути у 1,5 разів більше обсягів виробництва кришталю ІІ-го типу.

Рівень витрат за місяць не повинен перевищувати 3%, а рівень прибутку повинен бути не менше 2% від загального обсягу товарообігу магазину.

З урахуванням попиту на цей товар продаж першого виду кришталю не повинен бути більше 120 тис. грн., а другого – не більше 80 тис. грн.

Знайти план продажу кришталю з максимальною величиною загального товарообігу, а також величину товарообігу інших товарів, які реалізуються магазином.

1.3.3.

Завод “Електрон” реалізує свою продукцію – три вида радіоапаратури – через виставочні зали об’єднання послуг, виплачуючи орендну плату за їх використання.

Величина орендної плати знаходиться від 25% до 30% загальної суми витрат на утримання залів, а величина обсягів від реалізації одного комплекту кожного виду радіоапаратури наведена у наступній таблиці:

Загальний план реалізації продукції заводу складає 800 тис. грн., причому обсяги реалізації радіоапаратури згідно з її попитом повинні бути у співвідношенні 1,2:2:1.

Знайти мінімальну величину загальної суми витрат на утримання виставочних залів об’єднання послуг.

1.3.4.

На реконструкцію прокатного цеху протягом місяця металургійний комбінат має можливість виділити суму тільки у розмірі 400 тис. грн.

Цех планує випускати три види кутка, для яких показники капіталовкладень та прибутку відносно виробництва 1 т продукції, наведено у наступній таблиці:

Місячні обсяги максимального виробництва трьох видів кутка дорівнюють 100 т, 100 т та 200 т відповідно.

На повну реконструкцію цеху металургійний комбінат додатково повинен взяти кредит з банку, але при умові виплати цього кредиту у розмірі 120% від наданої суми відразу після реконструкції цеху протягом наступного місяця роботи.

Знайти оптимальний план виробництва та необхідну величину кредиту з точки зору максимального прибутку після реконструкції цеху, маючи на увазі, що обсяги виробництва другого та третього видів кутка повинні бути у співвідношенні 1:2, а обов’язкове виробництво кожного виду кутка в місяць складає не менше 50 т.

1.3.5.

Молокозавод планує змонтувати обладнання з переробки молока для обов’язкового виробництва трьох видів молочної продукції.

Який кредит треба взяти у банку, щоб виплатити його у розмірі 120% через місяць після пуску обладнання при умові максимізації чистого прибутку виробництва. При цьому треба врахувати такі умови, при яких з першого місяця виробництва можливо було б виплачувати заробітну плату загальною сумою не менше 180 тис. грн.

Кількість установок обладнання з трьох видів молочної продукції згідно з наявністю виробничих площин дорівнює 8.

Показники, які зведені до однієї одиниці обладнання, приведені у наступній таблиці (тис. грн.):

В наявності на монтаж обладнання молокозавод має тільки 200 тис. грн.

1.3.6.

Трикотажна фабрика виробляє два типи виробів з вовни. Згідно з попитом населення обсяг виробництва повинен бути на суму не менше 1875 тис. грн. першого виробу, а другого – не менше 2000 тис. грн.

Загальний план виробництва фабрики за місяць складає 150 шт. виробів при обсягах прибутку 250 – 300 тис. грн.

Знайти місячний план виробництва виробів з мінімальною величиною витрат, якщо вартість, прибуток та витрати, які зведені до однієї одиниці виробу, наведені у наступній таблиці (тис. грн.):

1.3.7.

Протягом місяця необхідно виконати реконструкцію двох діючих підприємств.

Знайти максимальний обсяг виробництва продукції (в тис. т.) обох підприємств після реконструкції та величину банківського кредиту при умові його повернення у розмірі 120%, якщо на реконструкцію надається з централізованих фондів галузі тільки 200 тис. грн.

Погасити кредит треба рівномірно протягом двох місяців роботи підприємства після реконструкції, але при умові виплати заробітної плати колективу обох підприємств у обсязі 100 тис. грн. за місяць.

Показники, які зведені до виробництва 1 тис. т. продукції підприємств, надані у наступній таблиці (тис. грн.):

Слід мати на увазі, що загальна вартість реконструкції підприємств знаходиться в обсягах від 200 до 350 тис. грн.

1.3.8.

З метою переоснащення обладнання фасоноливарного цеху для можливого лиття трьох нових металовиробів підприємству, крім своїх власних капіталовкладень у розмірі 100 тис. грн., треба додаткові позикові кошти.

Банківський кредит можливо взяти при умові повернення 108% від взятих обсягів коштів протягом півроку після роботи нового обладнання.

Капіталовкладення на переоснащення обладнання для випуску однієї одиниці металовиробу першого виду дорівнює 20 тис. грн., другого – 18 тис. грн., третього – 15 тис. грн.

В залежності від попиту роздрібна ціна одного металовиробу дорівнює по кожному виду відповідно 8,0; 6,0 та 8,2 тис. грн. (за одну одиницю металовиробу).

Знайти місячну програму лиття кожного виду металовиробу з максимальною виручкою від продажу металовиробів та рівномірного повернення до банку позикових коштів при умові виплати договірних процентів.

Згідно з попитом максимально можлива кількість металовиробів першого виду не перевищує 5 одиниць, другого – 8 одиниць, третього – без обмежень протягом місяця.

Крім того, випуск металовиробів другого та третього видів повинен бути в співвідношенні 1:2.

1.3.9.

Рівень прибутку від обсягів реалізації кожного з двох видів скловиробів (мистецьке оформлення ваз та попільниці) складає 2% та 2,5% відповідно.

Торгові площини мають орендну плату, яка складає 1,1% від загального прибутку.

Орендатору вигідно використовувати торгові площини, якщо величина орендної плати не буде перевищувати 174,4 тис. грн. у місяць.

Знайти план реалізації продукції фабрики з максимальним прибутком з урахуванням орендної плати за торгові площини. При цьому необхідно враховувати, що фабриці вигідно працювати тільки в тому разі, коли виробництво першого виду скловиробу дає обсяг реалізації у діапазоні 300 – 400 млн. грн., а другого – 270 – 350 млн. грн.

1.3.10.

Місячний план об’єднання, яке виробляє 3 типа сільськогосподарських агрегатів, складає 80 одиниць обладнання.

Вартість реалізації одного агрегату першого типу до впровадження нових технологій складає 10, другого – 20 і третього – 15 тис. грн.

Відрахування на розробку та впровадження у виробництво нових технологій дорівнює 2% від місячного обсягу реалізації товару.

Загальна вартість капітальних витрат на впровадження нових технологій знаходиться у діапазоні 3000 – 3504 тис. грн.

Який мінімальний кредит треба взяти об’єднанню, щоб забезпечити впровадження у виробництво нових технологій протягом 4 місяців, якщо одержаний кредит треба повернути у розмірі 120% рівномірно протягом півроку роботи об’єднання після закінчення впровадження нових технологій.

При цьому треба передбачити забезпечення видачі місячної заробітної плати робітникам об’єднання у розмірі 400 тис. грн. Після впровадження у виробництво нових технологій вартість реалізації одного агрегату першого типу буде складати 12 тис. грн., другого – 25 тис. грн. та третього типу – 18 тис. грн.

Виробництво кожного типу агрегату протягом місяця не повинно бути менше 10 одиниць.