Читайте также:
|
|
Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси,
лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая
кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.
Возьмем на поверхности точку
M (x;y;z). Проведем через точку
М плоскость, перпендикулярную
оси oz, и обозначим точки
пересечения ее с осью oz
и кривой L соответственно O1 и N.
Обозначим координаты точки
N (0;y1;z1). Отрезки O1M и O1N
являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O1M = O1
N. Но O1M = (x2+y2)0.5, O1
N=|y1|.
Следовательно, |y1|=(x2+y2)0.5 или y1=±(x2+y2)0.5. Кроме того, очевидно, z1=z.
Следовательно –
искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой
точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на
поверхности вращения.
27. Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид, Гиперболоид.
Эллипсоид.
Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, параллельными xOy. Уравнения
таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении,
определяется двумя уравнениями:
Если |h|>c, c>0, то точек пересечения поверхности с плоскостями z=h нет.
Если |h|=c, т.е. h=±c, то
. Линия пересечения вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоскости z=c и
z=–c касаются поверхности.
Если |h|<c, то уравнения можно переписать в виде:
Линия пересечения есть эллипс с полуосями.
Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с – полуоси. Если все
они различны, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две
полуоси равны, то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то тело
называется сферой x2+y2+z2=R2
Однополостный гиперболоид.
Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения
которой имеют вид.
Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a1=a, b1
=b. При возрастании |h| полуоси будут увеличиваться.
Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим
гиперболы. Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение
которой x=0. Эта линия пересечения описывается уравнениями:
Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется
однополостным гиперболоидом.
Двуполостный гиперболоид.
Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями
Если |h|<c, то плоскости z=h не пересекаются.
Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в
точках (0;0;с) и (0;0;-с).
Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде:
Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|.
У обеих гипербол действительной осью является ось oz. Метод сечения позволяет
изобразить поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму двух
неограниченных чаш. Поверхность называется двуполостным гиперболоидом.
Дата добавления: 2015-04-20; просмотров: 102 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
|