Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обозначим через

R (sin x; cos x)

функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление).

Нахождение неопределенных интегралов типа

осуществляется подстановкой

,

которая называется универсальной.

Действительно

;

;

; .

Поэтому

,

где R ₁(t) – рациональная функция от t.

Другие подстановки:

1. Если функция R (sin x; cos x) – нечетная относительно sin x, т.е.

R (–sin x; cos x) = – R (sin x; cos x),

то используется подстановка

t = cos x.

2. Если функция R (sin x; cos x) – нечетная относительно cos x, т.е.

R (sin x; –cos x) = – R (sin x; cos x),

то используется подстановка

t = sin x.

3. Если функция R (sin x; cos x) – четная относительно sin x и cos x, т.е.

R (–sin x; –cos x) = R (sin x; cos x),

то используется

t = tg x.

Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

.

Пример 1. Найти интеграл

.

Решение _▼

.

^▲

Пример 2. Найти интеграл

.

Решение _▼

Подынтегральная функция – четная относительно sin x и cos x, так как

R (–sin x;–cos x)= = R (sin x; cos x).

.

Учтено, что .

^▲

4.2. Интегралы типа

При интегрировании используются следующие приемы:

1. Подстановка sin x = t, если n =2 k +1, k Z⁺.

2. Подстановка cos x = t, если m =2 k +1, k Z⁺.

3. Формулы понижения порядка:

,

,

,

если m =2 k, n =2 k, k Z⁺.

4. Подстановка tg x = t, если m + n =2 k, k Z^-.

Пример 3. Найти интеграл

.

Решение _▼

.

^▲

Пример 4. Найти интеграл

.

Решение _▼m + n = –4.

.

^▲