Читайте также:
|
2. Достаточность. Дано: f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Требуется доказать: ∃ f (x). Согласно определению предела функции по Гейне, нужно доказать, что ∀ { x n} → a (x n ≠ a) { f (x n)} сход., причем сходится к одному и тому же числу для всех { x n} → a (x n ≠ a). Рассмотрим произвольную последовательность { x n} → a (x n ≠ a). Докажем сначала, что последовательность { f (x n)} - фундаментальная. Зададим произвольное ε > 0. Согласно условию (1), ∃ δ > 0, ∀ x ' и x '', 0 < x ' - a < δ, 0 < x ''- a < δ: f (x ') - f (x '') < ε. (2). В свою очередь, так как { x n} → a и x n ≠ a, то ∃ N, ∀ n > N: 0 < x n - a < δ, ∀ m > N: 0 < x m - a < δ. (3). Из (2) и (3) следует, что ∀ n > N и ∀ m > N: f (x n) - f (xm) < ε. А это и означает по определению, что последовательность { f (x n)} - фундаментальная. Следовательно, она сходится. Итак, мы доказали, что ∀ { x n} → a (x n ≠ a): { f (x n)} сходится. Остается доказать, что для всех таких последовательностей { x n}: { f (x n)} сходится к одному и тому же числу. Пусть для { x n} → a (x n ≠ a): { f (x n)} → b, а для { x n'} → a (x n' ≠ a): { f (x n')} → b '. Нужно доказать, что b ' = b. Составим посл. { x n''} = x 1, x 1', x 2, x 2', …, x n, x n'', …
{ x n''} → a (x n'' ≠ a).
Согласно доказанному, { f (x n'')} → b '', но { f (x n)} и { f (x n')} - подпоследовательности последовательности { f (x n'')}, следовательно, эти последовательности сходятся к b '', а это и означает, что b = b ' = b '', что и требовалось доказать.
Число 
называется правым пределом функции 
в точке 
, если для 
такое, что для любого 
и 
, выполняется неравенство 
(рис. 1). Правый предел обозначается 
Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и 
, выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается 
Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 87 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |