Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Монотонные последовательности

Если каждый член последовательности, начиная со второго, больше предыдущего, то последовательность называется монотонно возрастающей.

Другими словами, числовая последовательность a ₁, a ₂, a ₃,... называется монотонно возрастающей, если для любого п

a _{n+ 1} > a _n

Если при любом n a _{n+ 1} > a _n , то последовательность { a _n } называется монотонно неубывающей. Например, последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3,... не является монотонно возрастающей, но является монотонно неубывающей.

Примером монотонно возрастающей числовой последовательности является натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4.... Другим примером монотонно возрастающей числовой последовательности может служить последовательность

p ₄, p ₈, p ₁₆, p ₃₂,...

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., в п и с а н н ы х в одну и ту же окружность. Действительно, пусть АВ — сторона квадрата, вписанного в окружность О (рис. 199).

Опустим на АВ перпендикуляр из центра окружности О и продолжим его до пересечения с окружностью в точке С. АС и ВС будут, очевидно, сторонами правильного восьмиугольника. В треугольнике ABC

АС + ВС > АВ.

Поскольку p ₄ = 4 АВ, p ₈ = 4 (АС+ВС), то p ₈ > p ₄. Аналогично показывается, что p ₁₆ > p ₈ , p ₃₂ > p ₁₆ и т. д.

Если каждый член числовой последовательности, начиная со второго, меньше предыдущего, то последовлтельность называется монотонно убывающей.

Другими словами, числовая последовательность a ₁, a ₂, a ₃,... называется монотонно убывающей, если для любого п

a _{n+ 1} < a _n

Если при любом п a _{n+ 1} < a _n , то последовательность { a _n } называется монотонно невозрастающей. Например, последовательность 1, 1, ¹/₂, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₃,, не является монотонно убывающей, но является монотонно невозрастающей.

Примером монотонно убывающей числовой последовательности может служить последовательность

1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄,...., ¹ / _n,....

Другим примером монотонно убывающей последовательности является последовательность

Р₄, Р₈, Р₁₆, Р₃₂,...

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около одной и той же окружности. Доказательство этого факта мы предлагаем учащимся провести самостоятельно.

Монотонно возрастающие и монотонно убывающие последовательности иногда называются просто монотонными последовательностями.

Не следует думать, что всякая числовая последовательность является монотонной. Так, например, последовательность

—1; 1; —1; 1;...

с общим членом a _n = (—1) ⁿ не принадлежит ни к монотонно возрастающим, ни к монотонно убывающим последовательностям. То же самое можнэ сказать и о последовательности

1, —¹/₂, ¹/₃, —¹/₄, ¹/₅ ,....

с общим членом . Подобные последовательности получили название колеблющихся последовательностей.