Читайте также:
|
|
1. Приращением (вариацией) аргумента функционала называется разность между двумя функциями:
(4)
где – некоторая фиксированная функция, – произвольная функция.
В окрестности функции .
2. Функционал называется непрерывным, если малому изменению соответствует малое изменение v.
Если в функционал входит , то малости обычно недостаточно, необходима малость и т.д.
Кривые и близки в смысле близости k-го порядка, если все модули разностей - малы.
Рис.3. Кривые, близкие в смысле близости 1-го порядка.
Рис. 4. Кривые, близкие в смысле близости 0-го порядка.
Функционал непрерывен при в смысле близости k-го порядка, если для любого >0 существует >0 такие, что
при для
Это означает, что малому приращению аргумента соответствует малое приращение функционала.
3. Функционал называется линейным, если выполняется условие:
(5)
(линейные функционалы обозначаются: ).
4.
- вариация аргумента.
- приращение функционала.
Сопоставим с дифференциальными исчислениями:
Функция ,
( когда )
Дифференциалом называется главная часть приращения , линейная по , .
По аналогии, для приращения функционала, можно записать:
,( при ) (6)
Тогда главная часть приращения , линейная по , называется вариацией функционала и обозначается .
Альтернативный способ записи:
Аналогично этому вариация функционала:
(7)
5. Функционал имеет max (min) на функции , если для любой функции вблизи разность между и неотрицательна (не положительна):
Теорема. Если функционал имеет max (min) (экстремален) на кривой , то на этой кривой вариация функционала равна нулю. (По аналогии с функциями, где производная или дифференциал равны нулю).
Доказательство.
Все функции близкие к функции можно представить в виде . При мы имеем экстремальную кривую , тогда функционал . Этот функционал имеет экстремум при , поэтому можно исследовать на экстремум не , а функцию , а эта функция экстремальна в точке, где или .
, т. е. на .
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Примеры. | | | Уравнение Лагранжа-Эйлера. |