Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Некоторые определения.

1. Приращением (вариацией) аргумента функционала называется разность между двумя функциями:

(4)

где – некоторая фиксированная функция, – произвольная функция.

В окрестности функции .

2. Функционал называется непрерывным, если малому изменению соответствует малое изменение v.

Если в функционал входит , то малости обычно недостаточно, необходима малость и т.д.

Кривые и близки в смысле близости k-го порядка, если все модули разностей - малы.

Рис.3. Кривые, близкие в смысле близости 1-го порядка.

Рис. 4. Кривые, близкие в смысле близости 0-го порядка.

Функционал непрерывен при в смысле близости k-го порядка, если для любого >0 существует >0 такие, что

при для

Это означает, что малому приращению аргумента соответствует малое приращение функционала.

3. Функционал называется линейным, если выполняется условие:

(5)

(линейные функционалы обозначаются: ).

4.

- вариация аргумента.

- приращение функционала.

Сопоставим с дифференциальными исчислениями:

Функция ,

( когда )

Дифференциалом называется главная часть приращения , линейная по , .

По аналогии, для приращения функционала, можно записать:

,( при ) (6)

Тогда главная часть приращения , линейная по , называется вариацией функционала и обозначается .

Альтернативный способ записи:

Аналогично этому вариация функционала:

(7)

5. Функционал имеет max (min) на функции , если для любой функции вблизи разность между и неотрицательна (не положительна):

Теорема. Если функционал имеет max (min) (экстремален) на кривой , то на этой кривой вариация функционала равна нулю. (По аналогии с функциями, где производная или дифференциал равны нулю).

Доказательство.

Все функции близкие к функции можно представить в виде . При мы имеем экстремальную кривую , тогда функционал . Этот функционал имеет экстремум при , поэтому можно исследовать на экстремум не , а функцию , а эта функция экстремальна в точке, где или .

, т. е. на .