Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнение Лагранжа-Эйлера.

Читайте также:
  1. Волновое уравнение
  2. Волновое уравнение. Формула Пуассона
  3. Глава 5 Уравнение судьбы
  4. Диссоциацию кислой соли можно выразить уравнением
  5. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Резонанс напряжения и резонанс тока
  6. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний
  7. Дифференциальное уравнение теплопроводности. Краевые условия.
  8. Кривая второго порядка может быть задана уравнением
  9. Линейное уравнение.
  10. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим функционал

(кривая закреплена)

(8)

где - параметр, – экстремальная кривая, – семейство функций.

 

При функционал достигает экстремума. Тогда .

- условный экстремум.

- функционал, записанный как функция.

из равенства (8) .

 

второе слагаемое возьмем по частям.

т.к. (функция закреплена в этих точках).

, потому что

Так как - произвольная, а интеграл равен нулю при любом

(9)

Уравнение (9) называется уравнением Лагранжа-Эйлера и позволяет найти функцию .

Уравнение (9) является дифференциальным уравнением 2-го порядка с граничными условиями , т. е. для нахождения надо решать краевую задачу.

Уравнение (9) можно записать в форме:

В обозначении частных производных знак «штрих» можно опустить.

(10)

Пример. Длина кривой соединяющей две точки.

Найти длину кривой (или выбрать кривую) соединяющую две точки с минимальной длиной.

Попробуем использовать уравнение (10)

, , ,

1.

2. проверим выражение

 

воспользуемся уравнением (9).

0=0 – это равенство выполняется при любых функциях , т.е. задача не имеет решения, т. е. нет экстремума.

Данный функционал имеет значения на всех кривых .

Функционал не зависит от кривой, т. е. он равен константе.

По формуле (9):

, ,

Зададим начальные условия: , воспользовавшись ими, находим константы: , , получим

Для того, чтобы исследовать дает полученная кривая max или min, необходимо:

1. взять любую другую кривую, проходящую через данные точки;

2. вычислить значение функционала на обеих кривых;

3. сравнить полученные значения; если значение полученной кривой меньше (больше), чем значение выбранной, то полученная кривая – min (max).

 

 




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Некоторые определения.| Пример.

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав