Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ

(доц. Мельников Ю.П., доц. Шувалов В.В.)

Как показал Г. Лоренц, использование классических представлений о строении вещества достаточно для качественного понимания многих оптических явлений. В частности, это относится и к дисперсии света, т.е. к зависимости показателя преломления вещества от длины волны излучения.

При прохождении через вещество световой волны на каждый электрон, входящий в частицы вещества (молекулы или атома) действует дополнительная сила электрической природы

. (1)

На основании второго закона Ньютона можно получить уравнение вынужденных колебаний электрона:

, (2)

где т – масса электрона; – коэффициент затухания колебаний; – частота собственных колебаний электрона в молекуле (атоме).

Решение уравнения (2) состоит из суммы общего решения однородного уравнения (), которое запишется

, (3)

где , и частного решения неоднородного уравнения (2):

. (4)

Общее решение однородного уравнения дает значения, затухающие за время , которое очень мало. Таким образом, стационарное решение уравнения (2) должно включать только незатухающие частные решения (4). Подставляя частное решение (4) в уравнение (2) получим тождество:

(5)

Это тождество должно удовлетворяться в любой момент времени, поэтому должны быть равны отдельно коэффициенты при и в левой и правой частях тождества (5). Отсюда получим систему уравнений для А ₁ и А ₂:

(6)

Решаем эту систему, например, подставляя решения для А ₂ из второго уравнения в первое, получим выражения для А ₁ и А ₂:

(7)

Представим частное решение неоднородного уравнения (4) с помощью комплексных амплитуд, т.е. считаем, что и . Тогда частное решение уравнения (2) можно записать в виде

, (8)

где – суммарная амплитуда, а – дополнительная фаза, возникающая при наличии затухания.

Для А и , используя формулы (7), получим:

.

Из решения (8) с учетом формулы для А и (9) и уравнения колебаний (2) видно, что при больших временах амплитуда вынужденных колебаний сильно зависит от разности , а фаза колебаний зависит от знака разности () и может быть такова, что электрон будет колебаться в противофазе с вынуждающей силой электромагнитной волны, что будет при . Так как смещение электронов приводит к поляризации диэлектрика, то от фазы колебания электронов зависит и поляризация диэлектрика.

Далее для упрощения вычислений положим , при этом изменение фазы колебания вблизи резонансной частоты будет создаваться изменением знака амплитуды А. Получим:

. (10)

Электрон под действием падающей волны будет совершать колебательное движение:

. (11)

В результате смещения электрона происходит разделение зарядов в молекуле и возникает единичный дипольный момент:

, (12)

где – электрическое поле электромагнитной волны. Далее считаем, что .

Вектор поляризации вещества - это дипольный момент единицы объема вещества, который можно вычислить, умножив единичный дипольный момент на количество смещающихся электронов в единице объема:

. (13)

Отсюда диэлектрическая проницаемость вещества равна:

; (14)

Учитывая связь между и показателем преломления п, , получим:

. (15)

Через длину волны это выражение для п ² можно записать в виде:

. (16)

Во второе слагаемое формулы (15), входит множитель размерности , который дает важную характеристику вещества:

, (17)

которая называется плазменной или ленгмюровской частотой. Эта частота связана с собственными коллективными колебаниями электронов в веществе.

Так удивительным образом оказывается, что величина, характеризующая коллективные движения электронов в плазме попадает в уравнение (16), выражающее зависимость показателя преломления от длины волны, хотя мы рассматривали колебательные движения электронов в атомах вещества. Этот результат можно объяснить тем, что колебания плазмы аналогичны поляризации диэлектрика.

Теперь вернемся к формуле (16). Можно показать, что зависимость в области нормальной дисперсии (длина волны излучения достаточно далеко от характеристической длины волны, введенной по определению ) может быть приближенно выражена формулой:

.

Наша работа ставит своей целью подтвердить этот вывод теории и следует сказать, что аккуратно поставленный эксперимент дает возможность это сделать.

ТАБЛИЦА

410 х ¢,		420 х ¢,
	0,6561		0,6691
	0,6563		0,6693
	0,6565		0,6696
	0,6567		0,6698
	0,6569		0,6700
	0,6572		0,6702
	0,6574		0,6704
	0,6576		0,6706
	0,6578		0,6709
	0,6580		0,6711
	0,6583		0,6713
	0,6585		0,6715
	0,6587		0,6717
	0,6589		0,6719
	0,6591		0,6722
	0,6593		0,6724
	0,6596		0,6726
	0,6598		0,6728
	0,6600		0,6730
	0,6602		0,6732
	0,6604		0,6734
	0,6607		0,6737
	0,6609		0,6739
	0,6611		0,6741
	0,6613		0,6743
	0,6615		0,6745
	0,6617		0,6747
	0,6620		0,6749
	0,6622		0,6752
	0,6624		0,6754
	0,6626		0,6756
	0,6628		0,6758
	0,6631		0,6760
	0,6633		0,6762
	0,6635		0,6764
	0,6637		0,6767
	0,6639		0,6769
	0,6641		0,6771
	0,6644		0,6773
	0,6646		0,6775
	0,6648		0,6777
	0,6650		0,6779
	0,6652		0,6782
	0,6654		0,6784
	0,6657		0,6786
	0,6659		0,6788
	0,6661		0,6790
	0,6663		0,6792
	0,6665		0,6794
	0,6667		0,6797
	0,6670		0,6799
	0,6672		0,6801
	0,6674		0,6803
	0,6676		0,6805
	0,6678		0,6807
	0,6680		0,6809
	0,6683		0,6811
	0,6685		0,6814
	0,6687		0,6816
	0,6689		0,6818
	0,6691		0,6820