Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение

Пример «ручного» выполнения работы

Исследуются связь между величиной расходов на питание (X) и размерами прожиточного минимума (Y). Результаты наблюдений изучаемых переменных приведены в таблице 1.1.

Построить прогноз для размера прожиточного минимума при расходах на питание х_р = 20 (усл. ед.).

Таблица 1.1

Решение

1. Из постановки задачи ясно, что размер прожиточного минимума - результативный признак (Y), а величина расходов на питание - факторный признак (X).
2. Корреляционное поле представлено на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Корреляционное поле для изучаемых признаков

1. По виду корреляционного поля заключаем, что линейная форма связи между Y и Х вполне допустима.
2. Заготовим вспомогательную таблицу вида:

Табл. 1.2.

x	y	xy	x2	y2	=b0+b1 ∙x	e2=(y- )2
					7,8	1,44
					10,9	0,81
					14,0	4,00
					17,1	3,61
					20,2	0,04
					70,0	9,90
		164,8		217,2	14,0	1,98

В двух последних строках приведены суммарные и средние значения величин, необходимые для последующих расчётов. А именно, используем эти данные, чтобы по формуле (2) найти выборочный коэффициент корреляции:

.

Проверим его статистическую значимость.

С этой целью вычисляется статистика:

,

которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы.

Для нашего примера

.

С другой стороны, для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы ν = n – 2 = 3 по таблице распределения Стьюдента найдем критическое значение t (α/2, n – 2) = 3,18.

Так как | t | > t (α/2, n – 2), коэффициент корреляции статистически значим.

Оформим полученные результаты в виде статистического заключения по корреляционному анализу связи Х и У.

По знаку коэффициента корреляции выбираем один из следующих вариантов:

при r_xy > 0 между Х и У имеется положительная корреляция;

при r_xy < 0 между Х и У имеется отрицательная корреляция;

при r_xy = 0 между Х и У отсутствует линейная корреляция.

По величине коэффициента корреляции теснота связи между Х и У характеризуется с помощью шкалы Чеддока:

Таким образом, в нашем примере между изучаемыми переменными есть положительная линейная корреляция: с увеличением расходов на питание величина прожиточного минимума в среднем возрастает. Теснота линейной связи оценивается по шкале Чеддока как весьма высокая.

5. Найдём оценки коэффициентов уравнения регрессии:

Используя данные табл. 1.2, получим b₀ = 6,25, b₁= 0,775, следовательно, выборочное уравнение регрессии имеет вид: .

Коэффициент b₁ показывает, что при увеличении расходов на питание на 1 усл. ед. прожиточный минимум увеличится в среднем на 0,775 усл. ед. Значение b₀ показывает, что при нулевом уровне расходов на питание прожиточный минимум составит в среднем 6,25 усл. ед.

Знаки коэффициентов уравнения регрессии соответствуют экономическому смыслу изучаемого явления.

6. Оценим значимость выборочных коэффициентов уравнения регрессии b ₀и b ₁.

Для этого сначала найдём стандартную ошибку регрессии: , в нашем примере .

Стандартные ошибки коэффициентовуравнения регрессии:

в нашем случае:

.

Для углового коэффициента регрессии наблюдаемое значение t-статистики . При a=0,05 и n=3 критическое значение t(α/2, ν) = 3,18. Поскольку | t_b1 | > t(α/2, ν), выборочный коэффициент регрессии b₁ значим.

Аналогичную проверку проводим в отношении b ₀. Для него

.

Так как | t_b0 | > t(α/2, ν), коэффициент b₀ значим.

Таким образом, в нашем примере оба коэффициента уравнения регрессии оказались значимыми.

Выполним интервальное оценивание истинных коэффициентов регрессии b₀ и b₁.

Доверительный интервал для теоретического коэффициента уравнения регрессии b₁ при выбранном уровне значимости α:

b₁ - t(α/2, ν)·S_b1 < β₁ < b₁ + t(α/2, ν)·S_b1

Аналогичная формула применяется для свободного члена β₀.

Так, доверительный интервал, который с надёжностью 95% накрывает истинный (теоретический) коэффициент регрессии b₁:

0,775-3,18×0,14 < b₁ < 0,775+3,18×0,14, то есть

0,32 < b₁ < 1,23.

Доверительный интервал для β₀:

6,25-3,18×1,65 < β₀ < 6,25+3,18×1,65, то есть

1,00 < β₀ < 11,50.

Протяжённость доверительных интервалов для коэффициентов b₀ и b₁ (при одном и том же уровне значимости) отличается: для b₀ он заметно шире, следовательно, точность оценивания в этом случае ниже по сравнению с точностью оценки b₁. Скорей всего так проявляется очень малый объём выборки (n = 5).

7. Проверим качество построенного уравнения регрессии, вычислив коэффициент детерминации. В нашем примере получим R ² = r_xy ² ≈ 0,91, отсюда заключаем, что 91 % дисперсии результативного признака объясняется уравнением регрессии , а доля необъяснённой дисперсии составляет лишь 9 %.

Значимость коэффициента детерминации следует из установленной выше значимости коэффициента корреляции.

Близость величины коэффициента R² к единице свидетельствует о высоком качестве уравнения регрессии.

8. Найдем прогноз модели для уровня прожиточного минимума при величине расходов на питание х_р = 20 (усл. ед.).

В качестве х_р выбирают 80% от х_макс (для внутреннего, интерполяционного прогноза) или 110 – 120 % от х_макс для экстраполяционного прогнозирования за пределами области построения уравнения регрессии.

Точечный прогноз выполняем по выборочному уравнению регрессии . Для х_р = 20 (усл. ед.):

.

При расходах на питание в 20 (усл. ед.) наиболее вероятная величина прожиточного минимума будет 21,75 (усл. ед.).

Для интервального прогноза найдём его стандартную ошибку:

.

В нашем примере:

.

Тогда доверительный интервал

при α = 0,05 будет:

21,75-3,18∙2,45 < Y_p < 21,75+3,18∙2,45,

13,94 < Y_p < 29,56.

С вероятностью 95% истинное значение прожиточного минимума Y_р при расходах на питание в 20 (усл. ед.) лежит в пределах между 13,94 (усл. ед.) и 29,56 (усл. ед.).

Вывод: при исследовании связи между размером прожиточного минимума Y и величиной расходов на питание Xпо выборочным данным построено уравнение регрессии, которое обладает хорошими статистическими свойствами и, следовательно, может быть рекомендовано для практического применения.