Читайте также:
|
|
1.1. Общие понятия
Интервальной оценкой неизвестного параметра распределения случайной величины называется интервал , границы которого есть функции от элементов выборки и который с заданной вероятностью накрывает оцениваемый параметр :
.
Интервал называется доверительным интервалом, его границы и , являющиеся случайными величинами, - соответственно нижним и верхним доверительными пределами, вероятность - доверительной вероятностью, а величина - уровнем значимости.
Из приведенных определений следует, что интервальная оценка характеризуется двумя параметрами: шириной интервала и доверительной вероятностью. Очевидно, что если , а , то такой интервал с вероятностью единица накроет неизвестный параметр . Однако такой результат не представляет практического интереса. С другой стороны, если взять доверительный интервал очень узким, то и вероятность накрыть оцениваемый параметр будет слишком мала. Практически чаще всего используют значение , реже и , и совсем редко и .
1.2.Интервальные оценки математического ожидания и дисперсии
Формулы для вычисления границ доверительных интервалов для математического ожидания , дисперсии и среднего квадратического отклонения одномерной нормально распределённой случайной величины по выборке объема приведены в Таблице 1.
Таблица 1
№ | Оцениваемый параметр | Условия | Точечная оценка | Доверительный интервал | Используем. распределение |
известна | -распределение | ||||
не известна | -распределение | ||||
не известно | -распределение | ||||
не известно | -распределение |
Пример 1. Пусть для случайной величины X с нормальным законом распределения по выборке объема n =16 определены оценки математического ожидания =2 и дисперсии =4.
Построить доверительные интервалы для , и с доверительной вероятностью .
1.Найдём интервальную оценку математического ожидания .
Так как точное значение дисперсии не известно, то необходимо использовать строку 2 Таблицы 1. Сначала, пользуясь таблицей t -распределения Стьюдента [2,3], найдём значения:
,
.
Подставляя эти значения в формулу 2 Таблицы 1, получим:
,
и окончательно
.
То есть, истинное значение математического ожидания с вероятностью 90% лежит в интервале (1,124; 2,876).
2.Найдём интервальную оценку дисперсии .
Так как точное значение математического ожидания не известно, то необходимо использовать строку 3 Таблицы 1. Сначала, пользуясь таблицей -распределения [2,3], найдём значения:
,
.
Подставляя эти значения в формулу 3 Таблицы 1, получим:
,
и окончательно
.
То есть, истинное значение дисперсии с вероятностью 90% лежит в интервале (2,4; 10,2).
3.Найдём интервальную оценку среднего квадратического отклонения . В соответствие с формулой 4 Таблицы 1 достаточно извлечь квадратные корни из доверительных границ, вычисленных для дисперсии:
,
и окончательно получаем
.
То есть, истинное значение среднего квадратического отклонения с вероятностью 90% лежит в интервале (1,55 3,19).
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 158 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |