Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Изолированные особые точки однозначного характера

Оформление ссылки на законодательные акты[7].

Оформление ссылки на книгу без указания конкретной страницы (обычно делается в случае, если автор просто упоминает о публикации того или иного автора)[8].

Оформление ссылки на книгу с указанием конкретной страницы (делается, если приводится цитата, цифра, конкретный факт)[9].

Оформление повторной ссылки на книгу[10].

Оформление ссылки на периодическое издание без указания конкретной страницы[11].

Оформление ссылки на периодическое издание с указанием конкретной страницы[12].

Оформление ссылки на текст, цитируемый не по первоисточнику, а по другому изданию или по иному документу[13].

Оформление ссылки в случае, когда от текста, к которому относится ссылка, нельзя совершить логический переход к ссылке, поскольку из текста неясна логическая связь между ними[14].

Оформление ссылки в случае, когда надо подчеркнуть, что источник, на который делается ссылка, лишь один из многих, где подтверждается или высказывается, или иллюстрируется положение основного текста[15].

Оформление ссылки в случае, когда нужно показать, что ссылка представляет дополнительную литературу[16].

Оформление ссылки, содержащей работу, более подробно освещающую затронутый в основном тексте вопрос[17].

Оформление сноски в случае, если публикация неоднократно цитируется на одной странице[18].

Оформление ссылки на электронный источник (*для обозначения электронного адреса используют аббревиатуру «URL» (Uniform Resource Locator – унифицированный указатель ресурса))[19].

Оформление ссылки на документы из локальных сетей, а также из полнотекстовых баз данных, доступ к которым осуществляется на договорной основе или по подписке (например, «Кодекс», «Гарант», «КонсультантПлюс», «EBSCO», «ProQuest», «Интегрум» и т. п.)[20].

Оформление ссылки на электронный документ, требующий специального программного обеспечения (например, Adobe Acrobat Reader, PowerPoint и т. п.)[21].

[1]Методическое пособие по подготовке дипломных работ: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. / сост.: В.П. Бабинцев, А.П. Кривец. Белгород, 2004. С. 7.

[2] См., например: Арутюнов В.С., Стрекова Л.Н. Социологические основы научной деятельности. М.: Наука, 2004; Кузнецов И.Н. Научное исследование: методика проведения и оформление. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Дашков и Ко, 2007; Майданов А.С. Методология научного творчества. М.: ЛКИ, 2008.

[3] Государственное управление: основы теории и организации: учебник в 2 т. / Под ред. В.А. Козбаненко. М.: Статут, 2002. Т. 2. С. 550.

[4]Методическое пособие по подготовке дипломных работ: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. / сост.: В.П. Бабинцев, А.П. Кривец. Белгород, 2004. С. 24.

[5] Методическое пособие по подготовке дипломных работ: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. / сост.: В.П. Бабинцев, А.П. Кривец. Белгород, 2004. С. 24.

[6]Методическое пособие по подготовке дипломных работ: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. / сост.: В.П. Бабинцев, А.П. Кривец. Белгород, 2004. С. 24.

[7] О государственной гражданской службе Российской Федерации: федер. закон от 27 июля 2004 г. № 79-ФЗ // Российская газета. – 2004. – 31 июля.

О высшем и послевузовском профессиональном образовании: федер. закон от 22 августа 1996 г. № 1251-ФЗ // Собр. законодательства Рос. Федерации. – 2002. – № 38. – Ст. 4869.

[8] Воробьев Г.Г. Молодежь в информационном обществе. М., 1990.

[9] Герасимов Б.Н., Морозов В.В., Яковлева Н.Г. Системы управления: понятия, структура, исследование. Самара, 2002. С. 32.

[10] Возможные варианты ссылок:

Герасимов Б.Н., Морозов В.В., Яковлева Н.Г. Системы управления: понятия, структура, исследование. С. 81.

Герасимов Б.Н., Морозов В.В., Яковлева Н.Г. Системы управления … С. 81.

Герасимов Б.Н., Морозов В.В., Яковлева Н.Г. Указ. соч. С. 81.

[11] Козлова О. Н. О методах анализа социокультурных процессов // Социологические исследования. 1993. № 11.

[12] Васильев В.А. О новых национальных проектах Президента России // Человек и закон. 2006. № 1. С. 10.

[13] Возможные варианты ссылок:

Цит. по: Леви-Стросс К. Структурная антропология. М., 1985. С. 256.

Приводится по: Миголатьев А.А. О человеческих потребностях // Социально-политический журнал. 1988. № 6. С. 46.

[14] См. об этом: Взятышев В., Романкова Л. Социальные технологии в образовании // Высшее образование в России. 1998. №1. С. 28–38.

[15] См., например: Тернер Р. Сравнительный контент-анализ биографий // Вопросы социологии. 1992. Т. 1. № 1.

См., в частности: Тернер Р. Сравнительный контент-анализ биографий // Вопросы социологии. 1992. Т. 1. № 1. С. 121–33.

[16]См., также: Пронина Е.А. Чем обусловлена позиция эксперта? // Социологические исследования. 1999. № 3; Чередниченко В.В. Применение экспертных оценок в социологических исследованиях // Социологические исследования. 1981. № 3.

[17]Об этом более подробно см.: Терин В.П. Основные направления и исследования теории массовой коммуникации // Социологические исследования. 1997. № 11.

[18] Возможные варианты ссылок:

Изолированные особые точки однозначного характера

1.Изолированные особые точки и их классификация

Точка z ₀ называется правильной (регулярной) точкой функции f (z), если f (z) является аналитической в точке z ₀ (т.е. является аналитической в некоторой окрестности точки z ₀).

Точка z ₀ называется особой точкой функции f (z), если f (z) не является аналитической в точке z ₀ (т.е. не является аналитической ни в какой окрестности точки z ₀)

Пусть f (z) однозначная функция.

Точка z ₀ называется изолированной особой точкой функции f (z), если f (z) является аналитической в некоторой проколотой окрестности точки z ₀ , но не определена или не дифференцируема в самой точке z ₀ (т.е. z ₀ – изолированная особая точка, если z ₀ - особая точка и f (z) - аналитическая в ).

Классификация изолированных особых точек

Пусть z ₀- изолированная особая точка функции f (z).Тогда f (z) аналитическая в кольце . Значит, в D функция разлагается в ряд Лорана с центром в точке z ₀.

(11.1)

Возможны 3 случая.

1) Разложение Лорана не содержит отрицательных степеней. z-z ₀ (т.е. главная часть равна нулю). В этом случае z ₀ называется устранимой особой точкой.

2) Разложение Лорана содержит конечное число конечное число отрицательных степеней z-z ₀ (т.е. главная часть состоит из конечного числа слагаемых). В этом случае z ₀ называется полюсом.

3) Разложение Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней z-z ₀ (т.е. главная часть содержит бесконечно много слагаемых). Тогда z ₀- существенно особая точка функции f (z).

Из определения следует, что

1) В окрестности устранимой особой точки .

2) В окрестности полюса .

Число m называется порядком полюса. Если m =1, то полюс называется простым.

3) В окрестности существенно особой точки .

Пример 11.1. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

■ Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя. Так как числитель и знаменатель – аналитические функции, то особой точкой функции является только точка z =0, в которой знаменатель обращается в нуль. Следовательно, z =0 – изолированная особая точка этой функции. Разложим данную функцию в ряд по степеням z:

.

Разложение не содержит отрицательных степеней z, следовательно, что z= 0 – устранимая особая точка данной функции. ■

Пример 11.2. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

■ Функция не определена, если z ²+4=0. Следовательно, функция имеет две изолированные особые точки z ₁=2 i, z ₂=-2 i. Разложим функцию в ряд Лорана в кольце . Получим:

,

то есть главная часть состоит из одного слагаемого. Следовательно, является простым полюсом функции f.

Аналогично, получая разложение функции в ряд Лорана в кольце , убеждаемся в том, что точка также является простым полюсом данной функции. ■

Пример 11.3. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

■ Функция не определена в единственной точке z =1, следовательно, z =1 – изолированная особая точка этой функции, и функция аналитична в кольце . Её разложение в ряд Лорана в этом кольце имеет вид , то есть содержит бесконечное число отрицательных степеней (z -1). Поэтому z =1 – существенно особая точка функции f. ■

2. Поведение функции в окрестности особой точки

Теорема 11.1. Изолированная особая точка z ₀ является устранимой особой точкой функции f (z) тогда и только тогда, когда .

Следствие. Изолированная особая точка является устранимой особой точкой функции f (z) тогда и только тогда, когда f (z) является ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки z ₀.

Если z ₀-устранимая особая точка f (z), то функцию f (z) можно доопределить так, чтобы она стала аналитической в z ₀:

Теорема 11.2. Изолированная особая точка z ₀ является полюсом m -го порядка функции f (z) тогда и только тогда, когда существует функция F (z), аналитическая в некоторой окрестности , такая, что

.

Теорема 11.3. Точка z ₀ является полюсом - го порядка функции f (z) тогда и только тогда, когда она является нулём -го порядка для функции при z ¹ z ₀.

Замечание. Если точка z ₀ является нулем порядка k для функции f ₁(z) и нулем порядка m (m > k) для функции f ₂(z), то она – полюс порядка m-k для функции .

Теорема 11.4. Изолированная особая точка z ₀ является полюсом функции f (z) тогда и только тогда, когда .

Теорема 11.5 (А.В.Сохоцкого). Каково бы ни было комплексное число (конечное или бесконечное), найдётся такая последовательность точек { z_n }, сходящаяся к существенно особой точке z ₀, что .

(Короче можно сформировать следующим образом: в сколь угодно малой окрестности существенно особой точки f (z) принимает значения сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу, конечному или бесконечному.)

Итак, поведение функции в особой точке z ₀ в зависимости от ее вида можно охарактеризовать следующим образом:

1. z ₀- устранимая особая точка функции f (z) ,

2. z ₀ -полюс функции f (z) .

3. z ₀– существенно особая точка функции f (z) не существует.

Итак, для определения вида особой точки z ₀ функции f (z) можно использовать либо вид ряда Лорана функции по степеням z-z ₀, либо поведение функции в точке z ₀.

Для определения порядка полюса можно использовать разложение функции в ряд Лорана, а также теоремы 11.2, 11.3 и замечание.

Пример 11.4. Определить тип особой точки z =0 для функции .

■ Точка z =0 является нулем знаменателя, но и числитель в ней также обращается в нуль. Вычислим предел функции в этой точке. Для этого используем разложения sin z и cos z по степеням z.

.

Следовательно, z =0 – устранимая особая точка функции f (z). ■

Пример 11.5. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

■ Единственной особой точкой данной функции является z =-1 – нуль знаменателя. Следовательно, z =-1 – изолированная особая точка функции f (z). Так как , то точка является полюсом, причем превого порядка согласно теореме 11.2. ■

Пример 11.6. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

■ Так как , то функцию можно записать в виде . Числитель и знаменатель – аналитические функции, значит, особыми точками данной функции являются нули знаменателя: z =-1 и z =1.

Исследуем точку z =-1. Представим f (z) в виде . Функция аналитична в окрестности точки z =-1, причем . Следовательно, согласно теореме 11.2 точка z =-1 является полюсом второго порядка функции f (z).

Для точки z =1 рассуждаем аналогично. Запишем . Функция аналитична в окрестности точки z =1, . Значит, точка z =1 является простым полюсом функции f (z). ■

Пример 11.7. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

■ Функция является аналитической в . Следовательно, z= 0 – изолированная особая точка функции f. Покажем, что не существует. Будем приближаться к точке z= 0 по действительной оси, то есть z=x, : . А если приближаться к точке z= 0 по мнимой оси (z=iy, ), то . Следовательно, функция не имеет предела при . Поэтому z= 0 – существенно особая точка функции f. ■

3. Бесконечно удаленная изолированная особая точка

До сих пор мы рассматривали только конечные изолированные особые точки. Бесконечно удаленная точка всегда является особой точкой функции f (z).

Точка z =¥ называется бесконечно удаленной изолированной особой точкой функции f (z), если , такое что f (z) является аналитической в кольце (то есть в окрестности точки z =¥).

Положим , . Если f (z) аналитическая при , то аналитическая в . Поведение функции f (z) в окрестности точки z =¥ носит тот же характер, что и поведение в окрестности точки =0. Разложим в ряд Лорана в окрестности точки =0:

.

Тогда . (11.2)

Поведение функции в окрестности точки =0 зависит от главной части ряда Лорана . Но = . Следовательно, роль главной части ряда Лорана в окрестности точки z =¥ играет та часть, которая содержит степени с положительными степенями .

Тогда возможны 3 случая.

z =¥ является для f (z):

1. устранимой особой точкой, если в разложении (11.2) нет членов с положительными степенями z;

2. полюсом, если в разложении (11.2) конечное число членов с положительными степенями;

3. существенно особой точкой, если в разложении (11.2) бесконечно много членов с положительными степенями.

Пример 11.8. Определить характер точки z =¥ для функции .

■ Разлагая заданную функцию в степенной ряд, получим . Таким образом, z =¥ - существенно особая точка для функции , так как ряд содержит бесконечно много членов с положительными степенями z. ■

Свойства изолированных особых конечных точек переносятся на случай z =¥.

1. z =¥ - устранимая особая точка;

2. z =¥ - полюс;

3. не существует Þ z =¥ - существенно особая точка.

Пример 11.9. Исследовать точку для функции .

■ Точка является устранимой особой точкой, так как .■

Пример 11.10. ■ Точка является существенно особой для функций е^z,sin z,cos z,так как эти функции аналитичны во всей комплексной плоскости и не имеют предела при .

Действительно, а пределы sin x и соs x: при не существуют. ■

Правило для определения порядка полюса в точке z =¥ можно получить, используя теорему 11.3. Пусть z =¥ - полюс n -го порядка для функции f (z). Тогда =0 – полюс n -го порядка для функции , и согласно теореме 11.2 можно записать . Поэтому, обозначив , для f (z) получим:

f (z)= zⁿ × j (z), . (11.3)

Представление функции в виде (11.3) является необходимым и достаточным условием полюса порядка n функции f (z) в точке z =¥.

Пример 11.11. Исследовать точку для функций:

а) ; б) .

■ Полагая получим: ; .

а) Точка - полюс четвёртого порядка функции , поэтому точка является полюсом четвёртого порядка заданной функции.

б) Точка является нулём восьмого порядка функции . Следовательно, - нуль восьмого порядка заданной функции. ■